Сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Ауыстыру әдісін қолдану үшін айнымалылардың бірін екіншісі арқылы өрнектеу керек. 

\(\displaystyle x\) айнымалысын \(\displaystyle y\, \)арқылы өрнектеу үшін жүйенің бірінші теңдеуін қолданамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{c}\frac{5}{7}x-5y=-\frac{23}{14}{\small ,}\\[10px]\frac{5}{7}x=5y-\frac{23}{14}{\small ,}\\[10px]\left(\frac{5}{7}x\right):\frac{5}{7}=\left(5y-\frac{23}{14}\right):\frac{5}{7}{\small ,}\\[10px]x=\left(5y-\frac{23}{14}\right)\cdot \frac{7}{5}{\small ,}\\[10px]x=\left(5\cdot \frac{7}{5}\right)y-\frac{23}{14}\cdot \frac{7}{5}{\small ,}\\[10px]x=7y-\frac{23}{10}{\small .}\end{array}\)

Әрі қарай, бастапқы жүйеде

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{blue}{{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}\end{aligned}\end{array}\)

бірінші \(\displaystyle \color{blue}{{\small \frac{5}{7}}x-5y = -{\small \frac{23}{14}}}\) теңдеуін \(\displaystyle \color{green}{x=7y-\frac{23}{10}}\) алмастырамыз. Содан кейін:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x=7y-{\small \frac{23}{10}}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Енді \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{7y-\frac{23}{10}} \) белгілі болғандықтан, екінші сызықтық теңдеуде \(\displaystyle \color{green}{x} \) орнына \(\displaystyle \color{green}{7y-\frac{23}{10}}\) қоюға болады (алмастыру әдісі):

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x}=\color{green}{7y-{\small \frac{23}{10}}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}\cdot \left(\color{green}{7y-{\small \frac{23}{10}}}\right)+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Екінші теңдеу - бұл бір айнымалы \(\displaystyle y\, \) - тан шығатын сызықтық теңдеу болатын жүйені аламыз:]

\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small .}\)

Оны \(\displaystyle y\,\)табу үшін шешеміз:  

\(\displaystyle \begin{array}{c}\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\left(\frac{2}{3}\cdot 7\right)y-\frac{2}{3}\cdot\frac{23}{10}+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\frac{14}{3}y-\frac{23}{15}+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\frac{14}{3}y+\frac{1}{2}y=\frac{23}{15}+\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\frac{31}{6}y=\frac{31}{15}{\small ,}\\[10px]y=\frac{31}{15}:\frac{31}{6}{\small ,}\\[10px]y=\frac{31}{15}\cdot\frac{6}{31}{\small ,}\\[10px]y=\frac{2}{5}{\small .}\end{array}\)

Әрі қарай жүйеде

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=7y-{\small \frac{23}{10}}{\small }{\small ,}\\&\color{blue}{{\small \frac{2}{3}}\cdot \left(7y-{\small \frac{23}{10}}\right)+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}}\end{aligned}\end{array}\)

екінші \(\displaystyle \color{blue}{\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}}\) сызықтық теңдеуін \(\displaystyle \color{green}{y=\frac{2}{5}}\) алмастырамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=7y-{\small \frac{23}{10}}{\small ,}\\&\color{green}{y={\small \frac{2}{5}}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Ауыстыру әдісін қайтадан қолданамыз - жүйенің бірінші теңдеуінде \(\displaystyle y\) орнына \(\displaystyle {\bf \frac{2}{5}} \) санын алмастырамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=7\cdot {\bf {\small \frac{2}{5}}}-{\small \frac{23}{10}}{\small ,}\\&y={\small \frac{2}{5}}\end{aligned}\end{array}\)

немесе

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x={\small \frac{1}{2}}{\small ,}\\&y={\small \frac{2}{5}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Жауабы: \(\displaystyle x=\frac{1}{2}{\small ,}\;y=\frac{2}{5}{\small .}\)