Тапсырманың шарты бойынша сызба саламыз.

\(\displaystyle ABCD\) – шеңбер іштей сызылған теңбүйірлі трапеция болсын, бұл ретте:

\(\displaystyle BC\) және \(\displaystyle AD\) – трапеция табандары, \(\displaystyle AB=CD\) – бүйір жақтары, Шарт бойынша: \(\displaystyle P_{ABCD}=100\) – трапеция периметрі, \(\displaystyle S_{ABCD}=500\) – трапеция ауданы.

Трапеция табандарының ұзындығын табу қажет.

Алдымен трапецияның бүйір жағы мен биіктігін табамыз.

Есептің шарты бойынша теңбүйірлі трапецияға шеңбер іштей сызылған.

Правило

Сырттай сызылған төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының қосындысы

Сырттай сызылған төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы тең.

\(\displaystyle \color{blue}{AB}+\color{blue}{CD}=\color{red}{BC}+\color{red}{AD}\)

Трапеция периметрі – бұл трапецияның барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы.

\(\displaystyle P_{ABCD}=AD+BC+AB+CD {\small.}\)

Демек, табандарының қосындысы мен бүйір жақтарының қосындысы периметрдің жартысына тең:

\(\displaystyle AD+BC=AB+CD=\frac{1}{2} \cdot P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 100=50{\small.}\)

 \(\displaystyle (AB=CD) {\small}\) трапеция теңбүйірлі болғандықтан, онда

\(\displaystyle AB+CD =2 \cdot AB {\small.}\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle AD+BC=2\cdot AB=50{\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{AD+BC}{2}=AB=25{\small.} \)

Әрі қарай трапецияның биіктігін табамыз.    \(\displaystyle B\) нүктесінен \(\displaystyle AD\) табанына \(\displaystyle BH{\small}\) перпендикулярын жүргізейік \(\displaystyle BH\)–  \(\displaystyle ABCD{\small}\) трапециясының биіктігі

Трапеция ауданының формуласын қолданайық.

Правило

Трапеция ауданы

Трапеция ауданы биіктікке табандардың жарты қосындысының көбейтіндісіне тең.

\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{a}+\color{blue}{b}}{2}\cdot \color{red}{h}\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle S_{ABCD}= \frac{AD+BC}{2} \cdot BH{\small.}\\ \)

Аудан формуласына \(\displaystyle (S_{ABCD}=500{\small,} \) \(\displaystyle \frac{AD+BC}{2}=25) \) белгілі мәндерін алмастырып қоямыз және \(\displaystyle BH{\small}\\ \) табамыз

\(\displaystyle 500=25 \cdot BH{\small,}\)

\(\displaystyle BH=20{\small.}\)

 \(\displaystyle BC\) және \(\displaystyle AD{\small}\) табандарын табайық

Қосымша сызбаны орындайық.

\(\displaystyle C\) төбесінен \(\displaystyle AD\) табанына \(\displaystyle CN {\small}\) перпендикулярын жүргізейік \(\displaystyle BH=CN=20\) – трапеция биіктігі.  \(\displaystyle BCNH\) – тіктөртбұрыш. Яғни, \(\displaystyle HN=BC {\small.}\) Сонда \(\displaystyle AD=AH+BC+DN {\small.}\)

 \(\displaystyle ABH\) және \(\displaystyle DCN {\small}\) тіктөртбұрышты үшбұрыштарды қарастырайық

\(\displaystyle AB=CD=25{\small;}\) \(\displaystyle BH=CN=20 {\small.}\)  Яғни,\(\displaystyle \triangle ABH= \triangle DCN\) (гипотенуза және катет бойынша). Демек, \(\displaystyle AH=DN {\small.}\)

Пифагор теоремасы бойынша \(\displaystyle ABH\) үшбұрышынан

\(\displaystyle AH^2=AB^2-BH^2 {\small;}\)

\(\displaystyle AH^2=25^2-20^2=625-400=225=15^2 {\small.}\)

Кесіндінің ұзындығы теріс болуы мүмкін емес болғандықтан, онда \(\displaystyle AH=15 {\small.}\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle AD=AH+BC+DN {\small;}\)

\(\displaystyle AD=15+BC+15=BC+30{\small.}\)

Табандарының қосындысын біле отырып \(\displaystyle BC\) және \(\displaystyle AD{\small}\) табандарының ұзындығын табамыз

\(\displaystyle AD+BC=50 {\small;}\)

\(\displaystyle BC+30+BC=50 {\small;}\)

\(\displaystyle 2 \cdot BC=20 {\small;}\)

\(\displaystyle BC=10{\small;}\)

\(\displaystyle AD=50-BC=50-10=40{\small.}\)

Жауабы: \(\displaystyle BC=10{\small;}\) \(\displaystyle AD=40{\small.}\)