На сторонах \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) отмечены точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) соответственно. Известно, что \(\displaystyle AM:MB=3:4\) и \(\displaystyle AN:NC=3:2 {\small.}\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) если площадь треугольника \(\displaystyle AMN\) равна \(\displaystyle 18 {\small.}\)
Теорема о площадях треугольников с равными углами
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы: \(\displaystyle \frac{\color{blue}{S_{\triangle ABC}}}{\color{green}{S_{\triangle MNK}}}=\frac{\color{blue}{AB} \cdot \color{blue}{AC}}{\color{green}{MN} \cdot \color{green}{MK}} \) |  |
 | В треугольниках \(\displaystyle AMN\) и \(\displaystyle ABC\) \(\displaystyle \angle MAN= \angle BAC {\small.}\) По теореме о площадях треугольников с равными углами получаем: \(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} \ {\small.}\) |
По условию \(\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{3}{4} {\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle \frac{AM}{AB}= \frac{AM}{AM+MB}=\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7} {\small.} \\ \)
Так как \(\displaystyle \frac{AN}{NC}=\frac{3}{2} {\small,}\) то \(\displaystyle \frac{AN}{AC}= \frac{AN}{AN+NC}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5} {\small.} \\ \)
Подставим полученные дроби в формулу отношения площадей треугольников:
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \ {\small,} \\ \)
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{9}{35} \ {\small.}\)
Из последнего равенства по пропорции получаем
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{35 \cdot S_{\triangle AMN}}{9} \ {\small,}\)
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{35 \cdot 18}{9}=35 \cdot 2=70 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 70 {\small.}\)