Төртбұрыштың ауданы \(\displaystyle ABMN \) үшбұрыштардың аудандары \(\displaystyle ABC\) және \(\displaystyle CNM {\small}\) арасындағы айырмашылыққа тең \(\displaystyle S_{ABMN}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CNM} {\small.}\)

Үшбұрыштарды \(\displaystyle CNM\) және \(\displaystyle ABC {\small} \\ \) қарастырайық

 \(\displaystyle M\) және \(\displaystyle N\) – нүктелері сәйкесінше \(\displaystyle BC\) және \(\displaystyle AC\) қабырғаларының ортаңғы нүктелері болғандықтан, \(\displaystyle MN\) – үшбұрыштың \(\displaystyle ABC {\small}\) орта сызығы

 \(\displaystyle MN \parallel AB\) және \(\displaystyle MN=\frac{1}{2}\cdot AB\small. \)

Үшбұрыштарда  \(\displaystyle CNM\) және \(\displaystyle ABC \) аламыз:    \(\displaystyle \frac{CM}{BC}= \frac{CN}{AC}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}\small. \)

Правило

Үш жағынан

Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше екіншісінің үш қабырғасына пропорционал болса, онда үшбұрыштар ұқсас болады.

Егер \(\displaystyle \frac{\color{red}{AB}}{\color{red}{A_1B_1}}=\frac{\color{green}{AC}}{\color{green}{{A_1C_1}}}=\frac{\color{blue}{BC}}{\color{blue}{{B_1C_1}}}{\small,}\) содан кейін \(\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1{\small.}\)

Ұқсас үшбұрыштарда ұқсастық коэффициенті \(\displaystyle k\) ұқсас қабырғалардың қатынасына тең. білдіреді,

\(\displaystyle k=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2} {\small.} \)

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle CNM}}{S_{\triangle ABC}}=k^2 {\small,} \\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{{S_{\triangle CNM}}}{k^2}{\small,} \\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{S_{\triangle CNM}}{{\big(\frac{1}{2}\big)}^2}=\frac{S_{\triangle CNM}}{\frac{1}{4}}=4\cdot S_{\triangle CNM}{\small.} \\ \)

Біз алып жатырмыз

\(\displaystyle S_{ABMN}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CNM} =4\cdot S_{\triangle CNM}- S_{\triangle CNM}=3\cdot S_{\triangle CNM}{\small.}\\ \)

Демек, 

\(\displaystyle S_{\triangle CNM}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABMN}=\frac{1}{3}\cdot 171=57{\small.}\)

Жауабы: \(\displaystyle 57 {\small.}\)