Основания прямоугольной трапеции равны \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 4\small.\) Её площадь равна \(\displaystyle 14\sqrt{3}\small.\) Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция \(\displaystyle \\ \)с прямыми углами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и тупым углом \(\displaystyle C\small.\) \(\displaystyle \\ \)Тогда ее основания \(\displaystyle BC=4\) и \(\displaystyle AD=10\small,\) \(\displaystyle \\ \)большая боковая сторона \(\displaystyle CD\small.\) Опустим высоту \(\displaystyle CH\small.\) В четырехугольнике \(\displaystyle ABCH\) все углы прямые, \(\displaystyle \\ \)поэтому он является прямоугольником. Значит, \(\displaystyle AH=BC=4\small.\) Тогда \(\displaystyle HD=AD-AH=10-4=6\small.\) |  |
Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту,
\(\displaystyle {S_{трап}} = \frac{{AD}+{BC}}{2}\cdot {CH} {\small ,}\)
то
\(\displaystyle 14\sqrt{3} = \frac{{10}+{4}}{2}\cdot {CH} {\small ,}\\ \)
\(\displaystyle 14\sqrt{3} = 7 \cdot {CH} {\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle {CH}=\frac{14\sqrt{3}}{7}=2\sqrt{3} {\small .}\)
Найдем острый угол \(\displaystyle CDH\) трапеции из прямоугольного треугольника \(\displaystyle CHD\small.\)
Нам известны катеты \(\displaystyle CH=2\sqrt{3}\) и \(\displaystyle HD=6\small.\) По теореме Пифагора \(\displaystyle \begin{aligned} CD^2&=CH^2+DH^2=\\&=(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48\small.\end{aligned}\) Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle CD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\small.\) Так как гипотенуза \(\displaystyle CD\) в два раза больше катета \(\displaystyle CH\small,\) то против катета \(\displaystyle CH\) лежит угол \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) Значит, \(\displaystyle \angle CDH=30^{\circ}\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\)