Цилиндр мен конустың табаны мен биіктігі ортақ. Цилиндрдің биіктігі табан радиусына тең. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы \(\displaystyle 3 \sqrt 2 {\small}\) тең. Конустың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Цилиндр мен конустың табаны ортақ болғандықтан, онда олардың табан радиусы бір.
Белгілеуді енгізейік:
Шарт бойынша цилиндрдің биіктігі табан радиусына тең: \(\displaystyle h=r\small .\) |
Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы белгілі. Конустың бүйір бетінің ауданын табу қажет.
Конус пен цилиндрдің бүйір бетінің ауданын есептеу формулалары келесідей:
\(\displaystyle S_{бүй \,кон}=\pi \cdot r\cdot l \) және \(\displaystyle S_{бүй \, ц}=2\pi r \cdot h \small . \)
\(\displaystyle h=r\small \) болғандықтан, онда
\(\displaystyle S_{бүй \, ц}=2\pi r \cdot r =2\pi r^2 {\small .} \)
Яғни, цилиндрдің бүйір бетінің ауданын есептеу үшін тек \(\displaystyle r\) шамасы қажет
Ол үшін конустың бүйір бетінің ауданын тек табан радиусы арқылы өрнектейміз.
Ол үшін конустың \(\displaystyle l\) жасаушысын \(\displaystyle r\) арқылы өрнектейміз:
\(\displaystyle l=r\sqrt{2} \)
Конустың биіктігі, радиусы және жасаушысы арқылы жасалған үшбұрышты қарастырайық.
Конустың биіктігі табан жазықтығына перпендикуляр, радиусы табан жазықтығында жатыр, сондықтан биіктігі радиусқа перпендикуляр.
Бұл қарастырылып отырған үшбұрыш катеттері \(\displaystyle h=r\) және гипотенузасы \(\displaystyle l\) тең тік бұрышты екенін білдіреді.
Пифагор теоремасы бойынша: \(\displaystyle l^2=r^2+r^2 \small ,\) \(\displaystyle l^2=2r^2 \small .\) \(\displaystyle l\) кесіндінің ұзындығы болғандықтан, онда \(\displaystyle l>0 \small \) демек \(\displaystyle l=r \sqrt2 \small .\) |
Табылған мәнді \(\displaystyle l\) конустың бүйір бетінің ауданы формуласына алмастырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle S_{бүй \,кон}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot r\cdot r \sqrt2=\pi \sqrt2 \cdot r^2 { \small .} \)
Осылайша, екі беттік аудан да \(\displaystyle r^2{\small}\) арқылы өрнектеледі:
\(\displaystyle S_{бүй \,кон}=\pi \sqrt2 \cdot r^2\) және \(\displaystyle S_{бүй \, ц}=2\pi r^2 \small . \)
Цилиндрдің бүйір бетінің белгілі ауданынан \(\displaystyle r^2 \) табайық \(\displaystyle S_{бүй \, ц}=3 \sqrt 2 \)
\(\displaystyle r^2 = \frac {3 \sqrt 2}{2\pi}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}S_{бүй \, ц}&=2\pi r^2 \small , \\3 \sqrt 2 &= 2\pi r^2 \ \ \color{red}{\bigg| : 2\pi}{ \small ,} \\r^2 &= \frac {3 \sqrt 2}{2\pi}\end{aligned}\)
және конустың бүйір бетін формулада алмастырайық:
\(\displaystyle S_{бүй \,кон}= \pi \sqrt2 \cdot r^2 = \pi \sqrt2\cdot \frac {3 \sqrt 2}{2\pi} = 3 { \small .} \)
Демек, конустың бүйір бетінің ауданы \(\displaystyle 3 { \small }\) тең.
Жауабы: \(\displaystyle 3{\small .} \)