Геометриялық прогрессияда
\(\displaystyle b_6 \cdot b_7 = -3\) екені белгілі.
\(\displaystyle P_{12}\) прогрессиясының алғашқы он екі мүшесінің көбейтіндісін табыңыз.
1шешім .
Геометриялық прогрессияның сипаттамалық қасиетін пайдала отырып
\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{12}\) көбейтіндісін табайық.
Геометриялық прогрессияның жалпыланған сипаттамалық қасиеті
\(\displaystyle b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\)
\(\displaystyle b_{n}\cdot b_{m}=b_{l}\cdot b_{k}\) кез келген \(\displaystyle n + m=l+k\)үшін.
Осы қасиетке сәйкес,
\(\displaystyle b_1 \cdot b_{12} = b_2 \cdot b_{11} = ... = b_{6} \cdot b_{7} {\small .}\)
Бірінші жұпта бірінші элемент бар, екінші жұпта - екінші, және т.с.с., ал соңғы жұпта - алтыншы элемент болғандықтан, мұндай жұптар саны алтау болады.
Бұл жұптарды \(\displaystyle P_{12} \) бастапқы көбейтіндісінде таңдап алайық.
Келсін аламыз:
\(\displaystyle P_{12} = b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_{12} { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} = (b_1 \cdot b_{12})\cdot (b_2 \cdot b_{11})\cdot \ldots\cdot (b_{6} \cdot b_{7}) { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} = \underbrace{(b_{6} \cdot b_{7})\cdot (b_{6} \cdot b_{7})\cdot \ldots\cdot (b_{6} \cdot b_{7})}_{6 \text{ рет}} { \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} =(b_{6}\cdot b_{7})^6{ \small .}\)
Шарт бойынша \(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=-3\) болғандықтан, онда келесіні аламыз
\(\displaystyle P_{12} = (-3)^6{ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12} = 729{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 729{\small .}\)
2 Шешім.
\(\displaystyle b_1 \) және \(\displaystyle q\) арқылы
\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_{12} \) көбейтіндісін өрнектейік.
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q{ \small ,}\quad b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad b_{12}=b_1\cdot q^{11} \) болғандықтан, онда келесіні аламыз:
\(\displaystyle P_{12}=b_1\cdot (b_1\cdot q)\cdot (b_1\cdot q^2)\cdot \ldots\cdot (b_1\cdot q^{11}){ \small .}\)
\(\displaystyle b_1 \) және \(\displaystyle q \) жеке қайта көбейтеміз. Онда
\(\displaystyle P_{12}=\underbrace{b_1 \cdot b_1 \cdot ... \cdot b_1}_{12 \text{ рет}}\cdot (q\cdot q^2\cdot \ldots\cdot q^{11}){ \small ,}\)
\(\displaystyle P_{12}=b_1^{12}\cdot q^{1+2+\ldots+11}{ \small .}\)
Көбейтінді жеке есептейміз
\(\displaystyle 1+2+\ldots+11{\small .} \)
Онда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+11=(1+11)+&(2+ 10)+\ldots + (5+7)+6=\\&=\underbrace{12+12+\ldots+12}_{5\text{ рет}}+6=5\cdot 12+6=66{\small .}\end{aligned} \)
\(\displaystyle P_{12} \) орнын ауыстыру арқылы келесі жазуды аламыз:
\(\displaystyle P_{12}=b_1^{12}\cdot q^{66}=(b_1^2\cdot q^{11})^6{ \small .}\)
\(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=(b_1\cdot q^5)\cdot (b_1\cdot q^6)=b_1^2\cdot q^{11} \) ) болғандықтан, және шарт бойынша\(\displaystyle b_{6}\cdot b_{7}=-3{ \small ,} \) болғасын, онда
\(\displaystyle P_{12}=(-3)^6=729{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle 729{\small .}\)