1 - шешім

\(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n{\small}\) түрінде берілген бұрыштар жиынын қарастырайық.

Бұл бұрыштар \(\displaystyle -940^{\circ}\) бұрышынан \(\displaystyle 360^{\circ}{\small}\) қосу және азайту арқылы ерекшеленеді. 

Осы бұрыштардың ішінде абсолютті мәні бойынша ең кішісін табу керек.

Бұрышты \(\displaystyle 360^{\circ}{\small}\) еселі градус санына өзгерту арқылы, \(\displaystyle -940^{\circ}{\small}\) бұрышының абсолютті мәнін азайтамыз.  

Ол үшін \(\displaystyle 940\) қалдықпен \(\displaystyle 360\) бөлеміз:

\(\displaystyle 940=360\cdot {2}+220{\small.}\)

Демек,

\(\displaystyle -940^{\circ}=-(360^{\circ}\cdot {2}+220^{\circ})=-220^{\circ}+360^{\circ}\cdot(-2){\small.}\)

Бастапқы өрнекке қою арқылы біз келесіні аламыз:

\(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n=-220+360^{\circ}\cdot(-2)+360^\circ\cdot n=-220+360^\circ\cdot (n-2){\small.}\)

\(\displaystyle n-2\) өрнегі \(\displaystyle 0{\small}\) тең болатын \(\displaystyle n{ \small }\) ауыстырамыз. Яғни \(\displaystyle n=2{\small.}\) Нәтижесінде төмендегіні аламыз:      

\(\displaystyle -220^{\circ}+360^\circ\cdot (n-2)=-220^{\circ}+360^\circ\cdot0=-220^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle -220^{\circ}\) бұрышының абсолютті мәні \(\displaystyle 220^{\circ}{\small}\) тең.

Егер \(\displaystyle n=1,\,0,\dots{\small}\) сандарын алмастыру арқылы бұрышты азайтсақ, абсолютті мәні \(\displaystyle 220^{\circ}{\small}\) үлкен бұрыштарды аламыз. 

Сондықтан біз бұрышты тізбектеп арттырамыз.

Ол үшін \(\displaystyle n=3,\,4,\,\dots{\small}\) сандарын қойып бастаймыз:

• \(\displaystyle n=3{\small}\) үшін \(\displaystyle -220^{\circ}+360^\circ\cdot(3-2)=140^{\circ}{\small}\) аламыз.

\(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) оң бұрышы алынды Оның абсолютті мәні \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) тең.

Егер \(\displaystyle n=4,\,5,\dots{\small}\) сандарын қою арқылы бұрышты одан әрі арттырсақ, онда абсолютті мәні бойынша \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) үлкен бұрыштарды аламыз.         

Оң және теріс бұрыштарды минималды абсолютті мәнмен салыстырайық.            

\(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n\) бұрштары ішіндегі ең аз абсолютті мәнге ие - бұл \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) бұрышы. 

\(\displaystyle 140^{\circ}\) бұрышы \(\displaystyle n=3{\small}\) кезінде алынады.

Жауабы: \(\displaystyle n=3{\small.}\)

2 - шешім

Келесідей әрекет етеміз.

\(\displaystyle n=0{\small}\) бастайық.

Әрі қарай:

• алдымен бұрышты үлкейтіп, оның абсолютті мәнін бағалаймыз;            
• кейін бұрышты азайтып, оның да абсолютті мәнін бағалаймыз.          

\(\displaystyle n=0{\small}\) кезіндегі \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n\) есептейміз. Нәтижесінде келесіні аламыз:

\(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{0}=-940^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle -940^{\circ}\) бұрышының абсолютті мәні \(\displaystyle 940^{\circ}{\small}\) тең.

Бұрышты біртіндеп арттырамыз.

Ол үшін \(\displaystyle n=1,\,2,\dots{\small}\) оң сандарын ауыстырып бастаймыз: 

• \(\displaystyle n=1\) үшін \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{1}=-580^{\circ}{\small}\) аламыз;
• \(\displaystyle n=2\) үшін \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{2}=-220^{\circ}{\small}\) аламыз;
• \(\displaystyle n=3\) үшін \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{3}=140^{\circ}{\small}\) аламыз.

\(\displaystyle 140^{\circ}{\small }\) оң бұрышын аламыз. Оның абсолютті мәні \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) тең.

Егер \(\displaystyle n=4,\,5,\dots{ \small }\) сандарын алмастыру арқылы бұрышты одан әрі үлкейтсек, онда \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) үлкен оң бұрыштарды аламыз.

\(\displaystyle 140^{\circ}{ \small }\) үлкен оң бұрыштардың абсолютті мәні \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) тең.

\(\displaystyle n=-1,\,-2\,\dots{\small}\) теріс сандарын алмастыру арқылы бұрышты азайтсаңыз, \(\displaystyle -940^{\circ}{\small}\) кішірек бұрыштар алынады.

\(\displaystyle -940^{\circ}{ \small }\) кіші теріс бұрыштардың абсолютті мәні \(\displaystyle 940^{\circ}{\small}\) мәнінен үлкен.  

Демек, \(\displaystyle n=-1,\,-2\,\dots\) үшін бұрыштардың аболютті мәні \(\displaystyle 940^{\circ}\) үлкен болады және \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\) тіптен үлкен болатын білдіреді.

Демек, барлық осы бұрыштардың ішіндегі ең кіші абсолютті шама \(\displaystyle 140^{\circ}{\small}\)  бұрышы болып табылады.  

\(\displaystyle 140^{\circ}\) мәні \(\displaystyle n=3{\small}\) кезінде алынады.

Жауабы: \(\displaystyle n=3{\small.}\)