\(\displaystyle \frac{ 5\pi}{ 4 }\) бөлшегінен \(\displaystyle \pi{\small}\) бүтін саны түрінде шығарамыз:

\(\displaystyle \frac{ 5\pi}{ 4 }=\frac{4\pi+\pi}{4}=\frac{4\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}{\small.}\)

Содан кейін \(\displaystyle \cos\left(\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right)\) және \(\displaystyle \sin\left(\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right){\small}\) табу керек.

\(\displaystyle A\) нүктесінің координаталары \(\displaystyle \left(\cos\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right);\sin\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right)\right)\) болсын.

Жаңа \(\displaystyle A_1\) нүктесін екі әдіспен саламыз.  

1. \(\displaystyle A\) нүктесін \(\displaystyle \pi{\small}\) бұрамыз. \(\displaystyle A\) нүктесі  \(\displaystyle \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\small\) координаталарына ие. Демек, жаңа \(\displaystyle A_1\) нүктесінің координаталары \(\displaystyle A\small\) нүктесінің бұрышына \(\displaystyle \pi\) қосу арқылы алынады: \(\displaystyle \left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right)\)

2. \(\displaystyle A\) нүктесін қайтадан \(\displaystyle \pi{\small}\) бұрамыз. \(\displaystyle A\) нүктесі \(\displaystyle \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\small\) координаталарына ие. \(\displaystyle \pi\) бойынша айналу - центрлік симметрия болғандықтан, \(\displaystyle A_1\) нүктесі минус таңбасымен алынған \(\displaystyle A\small\) нүктесінің координаталарын алады:   \(\displaystyle \left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right){\small.}\)

Бір нүктені алғандықтан, біз бірдей координаталарды алдық. Яғни, екі нұсқаның координаталарын теңестіруге болады:     

• \(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right){\small;}\)
• \(\displaystyle \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right){\small.}\)

Кестеге сәйкес, \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) және \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small}\) болғандықтан, онда

• \(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small;}\)
• \(\displaystyle \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)

Осылайша, төмендегіні аламыз:

• \(\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small;}\)
• \(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)

Жауабы:  \(\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) және \(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)