Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle 8x^2-32x-256<0{\small .}\)
\(\displaystyle 8x^2-32x-256 \) көпмүшеге жақшаға ортақ көбейткішті шығарайық:
\(\displaystyle 8x^2-32x-256=8(x^2-4x-32){\small .} \)
Теңсіздік алынды \(\displaystyle 8(x^2-4x-32)<0{\small .} \)
Бұл теңсіздікті оның екі бөлігін а \(\displaystyle 8{\small } \) бөлу арқылы жеңілдетейік
\(\displaystyle \color{blue}{ 8}(x^2-4x-32)<0 \,| : \color{blue}{ 8}\)
\(\displaystyle x^2-4x-32<0{\small .} \)
\(\displaystyle x^2-4x-32 \) квадраттық үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
Коэффициенттерді бөліп аламыз:
\(\displaystyle x^2-4x-32=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -4}\cdot x\color{blue}{ -32}{\small .}\)
Онда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -4}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -32}{\small .} \)
Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:
\(\displaystyle x^2-4x-32=0{ \small ,} \)
және оның түбірін табамыз.
Дискриминантты есептейміз. Онда
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-4})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -32})=16+128=144\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 144}=12{\small .} \)
Теңдеудің түбірін табамыз:
\(\displaystyle x_1= \frac{-(-4)+12}{2}=\frac{16}{2}=8{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-(-4)-12}{2}=\frac{-8}{2}=-4{\small .}\)
Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\) мұнда \(\displaystyle x_1 \) және \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)Көбейткіштерге жіктеу
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір \(\displaystyle 8\) және \(\displaystyle -4{\small } \) тең.
Демек,
\(\displaystyle x^2-4x-32=\color{red}{ 1}\cdot (x-8)(x-(-4))=(x-8)(x+4) {\small .}\)
Демек, \(\displaystyle x^2-4x-32<0 \) теңсіздік теңсіздікке айналады
\(\displaystyle (x-8)(x+4)<0{\small .}\)
\(\displaystyle (x-8)(x+4)<0 \) теңсіздіктерді эквивалентті теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.
Барлық теңсіздік шешімдері \(\displaystyle (x-8)(x+4)<0\) шығады, егер
- немесе \(\displaystyle x-8>0{ \small ,}\, x+4<0\) – бірінші көбейткіш оң, екіншісі теріс;
- немесе \(\displaystyle x-8<0{ \small ,}\, x+4>0\) – бірінші көбейткіш теріс, екіншісі оң.
Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-8&>0{ \small ,}\\x+4 &< 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-8&< 0{ \small ,}\\x+4& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>8{ \small ,}\\x&< -4\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 8{ \small ,}\\x& > -4{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
Осылайша, біз аламыз:
\(\displaystyle x\in (-4;8){\small .} \)
Жауап: \(\displaystyle x\in (-4;8){\small .} \)