Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle -3x^2-12x+63<0{\small .}\)
\(\displaystyle -3x^2-12x+63 \) көпмүшеге жақшаға ортақ көбейткішті шығарайық:
\(\displaystyle -3x^2-12x+63=-3(x^2+4x-21){\small .} \)
Теңсіздік алынды \(\displaystyle -3(x^2+4x-21)<0{\small .} \)
Бұл теңсіздікті оның екі бөлігін \(\displaystyle -3{\small } \) бөлу арқылы жеңілдетейік.
Бұл жағдайда теріс санға бөлінген жағдайда теңсіздік белгісін керісінше өзгертеміз:
\(\displaystyle \color{blue}{ -3}(x^2+4x-21)<0 \,| : \color{blue}{ -3}\)
\(\displaystyle x^2+4x-21>0{\small .} \)
\(\displaystyle x^2+4x-21 \) квадраттық үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
Коэффициенттерді бөліп аламыз:
\(\displaystyle x^2+4x-21=1\cdot x^2+4\cdot x-21=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 4}\cdot x\color{blue}{ -21}{\small .}\)
Онда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 4}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -21}{\small .} \)
Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:
\(\displaystyle x^2+4x-21=0{ \small ,} \)
және оның түбірін табамыз.
Дискриминантты есептейміз. Онда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{4}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -21})=16+84=100\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 100}=10{\small .} \)
Теңдеудің түбірін табамыз:
\(\displaystyle x_1= \frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7{\small .}\)
Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\) мұнда \(\displaystyle x_1 \) және \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)Көбейткіштерге жіктеу
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір \(\displaystyle 3\) және \(\displaystyle -7{\small } \) тең.
Демек,
\(\displaystyle x^2+4x-21=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-7))=(x-3)(x+7) {\small .}\)
Демек, \(\displaystyle x^2+4x-21>0 \) теңсіздік теңсіздікке айналады
\(\displaystyle (x-3)(x+7)>0{\small .}\)
\(\displaystyle (x-3)(x+7)>0 \) теңсіздігін эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.
Барлық теңсіздік шешімдері \(\displaystyle (x-3)(x+7)>0\) шығады, егер
- немесе \(\displaystyle x-3>0{ \small ,}\, x+7>0\) – екі көбейткіш те оң;
- немесе \(\displaystyle x-3<0{ \small ,}\, x+7<0\) – екі көбейткіш те теріс.
Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x+7&> 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x+7& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>3{ \small ,}\\x&> -7\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 3{ \small ,}\\x& < -7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, біз жауап аламыз:
\(\displaystyle x\in (3;+\infty)\qquad\) немесе \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-7) \)
Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;-7)\cup (3;+\infty){\small .} \)