Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle -7x^2-35x+42 \ge 0{\small .}\)
\(\displaystyle -7x^2-35x+42 \) көпмүшеге жақшаға ортақ көбейткішті шығарайық:
\(\displaystyle -7x^2-35x+42=-7(x^2+5x-6){\small .} \)
Теңсіздік алынды \(\displaystyle -7(x^2+5x-6)\ge 0{\small .} \)
Бұл теңсіздікті оның екі бөлігін \(\displaystyle -7{\small } \) бөлу арқылы жеңілдетейік
Бұл жағдайда теріс санға бөлінген жағдайда теңсіздік белгісін керісінше өзгертеміз:
\(\displaystyle \color{blue}{ -7}(x^2+5x-6)\ge 0 \,| : (\color{blue}{ -7})\)
\(\displaystyle x^2+5x-6\le 0{\small .} \)
\(\displaystyle x^2+5x-6 \) квадраттық үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
Коэффициенттерді бөліп аламыз:
\(\displaystyle x^2+x-6=1\cdot x^2+5\cdot x-6=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 5}\cdot x\color{blue}{ -6}{\small .}\)
Онда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 5}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -6}{\small .} \)
Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:
\(\displaystyle x^2+5x-6=0{ \small ,} \)
және оның түбірін табамыз.
Дискриминантты есептейміз. Онда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{5}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -6})=25+24=49\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 49}=7{\small .} \)
Теңдеудің түбірін табамыз:
\(\displaystyle x_1= \frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6{\small .}\)
Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
Көбейткіштерге жіктеу
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
мұнда \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір \(\displaystyle 1\) және \(\displaystyle -6{\small } \) тең.
Демек,
\(\displaystyle x^2+5x-6=\color{red}{ 1}\cdot (x-1)(x-(-6))=(x-1)(x+6) {\small .}\)
Демек, \(\displaystyle x^2+5x-6\le 0 \) теңсіздік теңсіздікке айналады
\(\displaystyle (x-1)(x+6)\le 0{\small .}\)
\(\displaystyle (x-1)(x+6)\le 0 \) теңсіздіктерді эквивалентті теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.
Барлық теңсіздік шешімдері \(\displaystyle (x-1)(x+6)\le 0\) шығады, егер
- немесе \(\displaystyle x-1\ge 0{ \small ,}\, x+6\le 0\) – бірінші көбейткіш теріс емес, екіншісі оң емес;
- немесе \(\displaystyle x-1\le 0{ \small ,}\, x+6\ge 0\) –бірінші көбейткіш оң емес, екіншісі теріс емес.
Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-1&\ge 0{ \small ,}\\x+6 &\le 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-1&\le 0{ \small ,}\\x+6& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 1{ \small ,}\\x&\le -6\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 1{ \small ,}\\x& \ge -6{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
Осылайша, біз аламыз:
\(\displaystyle x\in [-6;1]{\small .} \)
Жауап: \(\displaystyle x\in [-6;1]{\small .} \)