Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle x^2+2x-8>0{\small .}\)
Квадраттық үшмүшені \(\displaystyle x^2+2x-8 \) көбейткіштерге бөлейік.
Коэффициенттерді бөліп аламыз:
\(\displaystyle x^2+2x-8=1\cdot x^2+2\cdot x-8=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 2}\cdot x\color{blue}{ -8}{\small .}\)
Онда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 2}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -8}{\small .} \)
Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:
\(\displaystyle x^2+2x-8=0{ \small ,} \)
және оның түбірін табамыз.
Дискриминантты есептейміз. Онда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{2}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -8})=4+32=36\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 36}=6{\small .} \)
Теңдеудің түбірін табамыз:
\(\displaystyle x_1= \frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4{\small .}\)
Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге бөлейік.
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\) мұнда \(\displaystyle x_1 \) және \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)Көбейткіштерге жіктеу
Біздің жағдайда үлкен коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір \(\displaystyle 2\) және \(\displaystyle -4{\small } \) тең.
Демек,
\(\displaystyle x^2+2x-8=\color{red}{ 1}\cdot (x-2)(x-(-4))=(x-2)(x+4) {\small .}\)
Демек, теңсіздік \(\displaystyle x^2+2x-8>0 \) теңсіздікке айналады
\(\displaystyle (x-2)(x+4)>0{\small .}\)
\(\displaystyle (x-2)(x+4)>0 \) теңсіздігін эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.
Барлық теңсіздік шешімдері \(\displaystyle (x-2)(x+4)>0\) шығады, егер
- немесе \(\displaystyle x-2>0{ \small ,}\, x+4>0\) – екі көбейткіш те нөлден үлкен;
- немесе \(\displaystyle x-2<0{ \small ,}\, x+4<0\) – екі көбейткіш те нөлден кіші.
Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&>0{ \small ,}\\x+4&> 0\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&< 0{ \small ,}\\x+4& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>2{ \small ,}\\x&> -4\end{aligned}\right.\) немесе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 2{ \small ,}\\x& < -4{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйелерді шешейік.
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, біз жауап аламыз:
\(\displaystyle x\in (2;+\infty)\qquad\) немесе \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-4) \)
Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;-4)\cup (2;+\infty){\small .} \)