\(\displaystyle x^4\) \(\displaystyle x^4+8x^2{\small } \)  көпмүшесіндегі \(\displaystyle (x^2)^2\) түрінде көрсетейік

\(\displaystyle x^4+8x^2= (\color{blue}{ x^2})^2+8\color{blue}{ x^2}{\small .} \)

 \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small } \) ауыстыруды жасайық Екінші дәрежелі көпмүшені аламыз:

\(\displaystyle t^2+8t{\small .} \)

 \(\displaystyle t^2+8t \le 0{\small } \) квадраттық теңсіздігін шешейік

 \(\displaystyle -8 \le t\le 0\) теңсіздігін теңсіздіктер жүйесі түрінде қайта жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le 0{ \small ,}\\t&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)

кері ауыстыруды жасайық \(\displaystyle t=x^2{\small }\) Келесіні аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2&\le 0{ \small ,}\\x^2&\ge -8{\small .}\end{aligned}\right.\)

 \(\displaystyle x^2\ge -8\) барлық \(\displaystyle x{ \small ,}\) сандары үшін дұрыс болғандықтан, бірінші теңсіздік \(\displaystyle x^2\le 0{\small }\) шешу қалады

Санның квадраты әрқашан теріс емес сан болғандықтан, онда

кез-келген  \(\displaystyle x^2\ge 0 \) саны үшін \(\displaystyle x{\small .}\)

Мұны кез-келген \(\displaystyle x\) саны үшін не \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) не \(\displaystyle x^2=0{ \small }\) деп қайта жазуға болады

Әр жағдайды қарастырайық:

•  \(\displaystyle x^2>0{ \small ,}\) болатын \(\displaystyle x{ \small ,}\)  \(\displaystyle x^2\le 0{ \small ;}\) теңсіздігінің шешімдері болып табылмайды;
•  \(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\) болатын \(\displaystyle x{ \small ,}\)  \(\displaystyle x^2\le 0{ \small .}\) теңсіздігінің шешімдері болып табылады.

 \(\displaystyle x^2=0{ \small }\) теңдеуін шешейік

\(\displaystyle x^2=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=0{\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle x\in \{0\}{\small .} \)