Квадраттық функцияның графигін пайдаланып квадрат теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .}\)
\(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small } \) болатын барлық \(\displaystyle x{ \small } \) мәндерді табайық.
\(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) парабола үшін \(\displaystyle y\ge 0{\small } \) болатын барлық \(\displaystyle x{ \small } \) мәндерді табуды білдіреді
Яғни, олар \(\displaystyle x{ \small } \) олар үшін параболаның тиісті нүктелері \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осінен де, одан да жоғары орналасқан.
Немесе сол сияқты, бұл \(\displaystyle x{ \small } \) олар үшін параболадағы нүктелер параболаның \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьпен қиылысу нүктелерінен жоғары және осьтің өзінде жатыр.
Сонымен, теңсіздікті шешу үшін \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0 \) керек:
- параболаның \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьпен қиылысу нүктелерін табыңыз, яғни \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0 \) теңдеуді шешіңіз
- табылған қиылысу нүктелерін ескере отырып, \(\displaystyle y= - 3x^2 - 24x+60\) параболаның графигін салыңыз;
- теңсіздіктің шешімін \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьтен жоғары жатқан нүктелердің \(\displaystyle x{ \small } \) координаттары ретінде жазыңыз , себебі онда.
Параболаның \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьпен қиылысу нүктелерін келесі теңдеуді шеше отырып табыңыз
\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0\)
Жалпы көбейткішті жақшадан шығарайық:
\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ,} \)
\(\displaystyle -3(x^2+8x-20)=0{\small .} \)
Теңдеудің екі бөлігін де \(\displaystyle -3 \) бөлейік
\(\displaystyle -3(x^2+8x-20)=0 \,| :(\color{red}{ -3}) \)
\(\displaystyle x^2+8x-20=0{\small .} \)
Дискриминантты табыңыз:
\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)
\(\displaystyle {\rm D}=8^2-4\cdot 1\cdot (-20){\small ; } \)
\(\displaystyle {\rm D}=144=12^2{\small . } \)
Сонда теңдеудің түбірлері келесіге тең болады
\(\displaystyle x_{1{ \small ,}2}= \frac{ -b\pm \sqrt{ \rm D} }{ 2a }{\small ; }\)
\(\displaystyle x_1=\frac{ -8+\sqrt{ 144} }{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -8-\sqrt{ 144} }{ 2 } { \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{ -8+12}{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -8-12 }{ 2 } { \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=2{ \small ,}\, x_2=-10 { \small .}\)
Параболаның \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьпен қиылысу нүктелерін ескере отырып параболаның графигін салайық
\(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьтен жоғары жатқан парабола нүктелерін қызыл түспен бөлектеңіз, себебі онда:
Берілген нүктелердің \(\displaystyle x{ \small } \) координаттарын анықтайық:
Бұл параболаның \(\displaystyle \rm OX {\small }\) осьпен қиылысу нүктелерінің сол және оң жағында орналасқан нүктелер (олардың қиылысу нүктелерін қосқанда \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0 \)).
Демек, ізделетін шешім-бұл барлық нүктелер түзу солға \(\displaystyle -10 \) және оңға \(\displaystyle 2 \) және \(\displaystyle -10 \) және \(\displaystyle 2 \) нүктелердің өздері
Осылайша, теңсіздікті түзу сызықта шешу келесідей:
Түзу сызықта \(\displaystyle x{ \small } \) координаты \(\displaystyle -10\) үлкен және \(\displaystyle 2\) кіші немесе тең болатын барлық нүктелер бейнеленген
Яғни \(\displaystyle -10\le x\le 2{\small } \) болатын барлық нүктелер
Мұны аралық ретінде қайта жаза отырып, аламыз:
\(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)