\(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуін шешіңіз және \(\displaystyle \left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]{\small }\) кесіндісінен түбірді таңдаңыз.
Егер бірнеше шешімдер болса, жауабында минималдысын жазыңыз.
Кез-келген \(\displaystyle -1\le a \le 1\) саны үшін \(\displaystyle \cos x =a\) тригонометриялық теңдеуінің келесі шешімдері бар:
\(\displaystyle x_1=-\arccos(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\arccos(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуінің келесі шешімдері бар
\(\displaystyle x_1=-\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)
\(\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) және \(\displaystyle \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}{ \small }\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}\) немесе \(\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}{\small .}\)
Демек,
\(\displaystyle x_1=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small . }\)
Әрі қарай \(\displaystyle \left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]{\small }\) аралығынан түбірді таңдайық.
Біз келесідей бүтін \(\displaystyle n\) мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\pi \le x_1\le -\frac{\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\pi \le -\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2}{\small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санына бөлеміз:
\(\displaystyle -1 \le -\frac{3}{4}+2n\le -\frac{1}{2}{\small .}\)
Теңсіздіктердің барлық бөліктеріне \(\displaystyle \frac{3}{4}{\small }\) қосамыз:
\(\displaystyle -1+\frac{3}{4} \le -\frac{3}{4}+2n+ \frac{3}{4} \le -\frac{1}{2}+\frac{3}{4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{1}{4} \le 2n\le \frac{1}{4}{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small }\) оқшаулау үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\)-ге бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{1}{8} \le n\le \frac{1}{8}{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle -\frac{1}{8}\) және \(\displaystyle \frac{1}{8}{\small }\) арасындағы барлық бүтін сандарды табуымыз керек.
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан нөлге тең, яғни \(\displaystyle n=0{\small .}\)
\(\displaystyle x_1=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n{ \small }\) шешіміне қойып келесіні аламыз:
\(\displaystyle n=0, \qquad -\frac{3\pi}{4}+2\pi \cdot 0=-\frac{3\pi}{4}{\small .}\)
Біз келесідей бүтін \(\displaystyle n\) мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\pi \le x_2\le -\frac{\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\pi \le \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{\pi}{2}{\small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санына бөлеміз:
\(\displaystyle -1 \le \frac{3}{4}+2n\le -\frac{1}{2}{\small .}\)
Теңсіздіктердің барлық бөліктерінен \(\displaystyle \frac{3}{4}{\small }\) шегереміз:
\(\displaystyle -1-\frac{3}{4} \le \frac{3}{4}+2n-\frac{3}{4}\le -\frac{1}{2}-\frac{3}{4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{7}{4} \le 2n\le -\frac{5}{4}{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small }\) оқшаулау үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\)-ге бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{7}{8} \le n\le -\frac{5}{8}{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle -\frac{7}{8}\) және \(\displaystyle -\frac{5}{8}{\small }\) арасындағы барлық бүтін сандарды табуымыз керек. Ондай бүтін сандар жоқ.
Демек, шешімдері жоқ.
Осылайша, \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]\) аралығында \(\displaystyle x=-\frac{3\pi}{4}{\small }\) шешіміне ие.
Жауабы: \(\displaystyle -\frac{3\pi}{4}{\small .}\)