Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теориясы: Қарапайым тригонометриялық теңдеулер және түбірлерді таңдау

Тапсырма

\(\displaystyle \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуін шешіңіз және \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{6};\, \frac{\pi}{4}\right]{\small }\) кесіндісінде түбірді таңдаңыз.

Егер бірнеше түбір болса, жауабында олардың қосындысын жазыңыз. 

\(\displaystyle x=\)
\frac{\pi}{5}
Шешім

Кез-келген \(\displaystyle -1\le a \le 1\) саны үшін \(\displaystyle \sin x =a\) тригонометриялық теңдеуінің келесі шешімдері бар: 

\(\displaystyle x_1=\arcsin(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\pi-\arcsin(a)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Осылайша, \(\displaystyle \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуінің келесі шешімдері бар

\(\displaystyle 5x_1=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x_2=\pi-\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

\(\displaystyle \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}{ \small }\) болғандықтан, онда

\(\displaystyle 5x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x_2=\pi-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Әр теңдікті түрлендірейік.

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}\)

Екі бөлігін де \(\displaystyle 5{ \small }\) бөлеміз:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{5}+2\pi n\cdot \frac{1}{5}, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}\)

Екінші теңдікті түрлендірейік:

\(\displaystyle 5x_2=\pi-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Екі бөлігін де \(\displaystyle 5{ \small }\) бөлеміз:

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{4}\cdot \frac{1}{5}+2\pi n\cdot \frac{1}{5}, \, n\in \mathbb{Z}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n, \, n\in \mathbb{Z}{\small .}\)

Әрі қарай \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{6};\, \frac{\pi}{4}\right]{\small }\) кесіндісінен түбірді таңдайық.

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n\)  үшін \(\displaystyle \frac{\pi}{20}{\small }\) шешімі бар.

Біз келесідей бүтін \(\displaystyle n\) мәндерді іздейміз

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le x_1\le \frac{\pi}{4}{ \small .}\)

Яғни

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n\le \frac{\pi}{4}{\small .}\)

Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санына бөлеміз:

\(\displaystyle -\frac{1}{6} \le \frac{1}{20}+\frac{2}{5}n\le \frac{1}{4}{\small .}\)

Теңсіздіктердің барлық бөліктерінен \(\displaystyle \frac{1}{20}{\small }\) шегереміз:     

\(\displaystyle -\frac{1}{6}-\frac{1}{20} \le \frac{1}{20}+\frac{2}{5}n-\frac{1}{20}\le \frac{1}{4}-\frac{1}{20}{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{13}{60} \le \frac{2}{5}n\le \frac{1}{5}{\small .}\)

\(\displaystyle n{ \small }\) оқшаулау үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle \frac{2}{5}\)-ге бөлеміз:                    

\(\displaystyle -\frac{13}{60}:\frac{2}{5} \le \frac{2}{5}n:\frac{2}{5} \le \frac{1}{5}:\frac{2}{5}{\small .}\)

Түрлендірейік:

\(\displaystyle -\frac{13}{24} \le n \le \frac{1}{2}{\small .}\)

Осылайша, \(\displaystyle -\frac{13}{24}\) және \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small }\) арасындағы барлық бүтін сандарды табуымыз керек.            

Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан нөлге тең, яғни \(\displaystyle n=0{\small .}\)       

\(\displaystyle \frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n{ \small }\) шешіміне \(\displaystyle n=0\) қойып келесіні аламыз:

\(\displaystyle n=0, \qquad \frac{\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot 0=\frac{\pi}{20}{\small .}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot n\) үшін \(\displaystyle \frac{3\pi}{20}{\small }\) шешімі бар.

Біз келесідей бүтін \(\displaystyle n\) мәндерді іздейміз

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le x_2\le \frac{\pi}{4}{ \small .}\)

Яғни

\(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n\le \frac{\pi}{4}{\small .}\)

Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санына бөлеміз:

\(\displaystyle -\frac{1}{6} \le \frac{3}{20}+\frac{2}{5}n\le\frac{1}{4}{\small .}\)

Теңсіздіктердің барлық бөліктерінен \(\displaystyle \frac{3}{20}{\small }\) шегереміз:   

\(\displaystyle -\frac{1}{6}-\frac{3}{20} \le \frac{3}{20}+\frac{2}{5}n-\frac{3}{20}\le \frac{1}{4}-\frac{3}{20}{ \small ,}\)

\(\displaystyle -\frac{19}{60} \le \frac{2}{5}n\le \frac{1}{10}{\small .}\)

\(\displaystyle n{ \small }\) оқшаулау үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle \frac{2}{5}\)-ге бөлеміз:            

\(\displaystyle -\frac{19}{60}:\frac{2}{5} \le \frac{2}{5}n:\frac{2}{5} \le \frac{1}{10}:\frac{2}{5}{\small .}\)

Түрлендірейік:

\(\displaystyle -\frac{19}{24} \le n \le \frac{1}{4}{\small .}\)

Осылайша, \(\displaystyle -\frac{19}{24}\) және \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small }\) арасындағы барлық бүтін сандарды табуымыз керек.            

Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан нөлге тең, яғни \(\displaystyle n=0{\small .}\)       

\(\displaystyle \frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}n{ \small }\) шешіміне \(\displaystyle n=0\) қойып келесіні аламыз:

\(\displaystyle n=0, \qquad \frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi}{5}\cdot 0=\frac{3\pi}{20}{\small .}\)

Осылайша, \(\displaystyle \sin(5x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{6};\, \frac{\pi}{4}\right]\) кесіндісінде екі шешімге ие:

\(\displaystyle \frac{\pi}{20}\) және  \(\displaystyle \frac{3\pi}{20}{\small .}\)

Екі түбірдің қосындысы тең:

\(\displaystyle \frac{\pi}{20}+\frac{3\pi}{20}=\frac{\pi}{5}{\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle \frac{\pi}{5}{\small .}\)