Барлық тригонометриялық функцияларды \(\displaystyle x{\small}\) аргументке келтірейік

Алдымен \(\displaystyle \sin(x+y)=\sin(x)\cdot\cos(y)+\cos(x)\cdot\sin(y){\small}\) формуланы қолданыңыз \(\displaystyle \sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)\) арқылы \(\displaystyle \sin(x)\) және \(\displaystyle \cos(x){\small}\) өрнектеңіз.

Сонда теңдеудегі \(\displaystyle \sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)\) орнына \(\displaystyle \frac{1}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x){\small}\) өрнекті қойып, мынаны аламыз:

\(\displaystyle 2\color{blue}{\sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)}+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1{\small,}\)

\(\displaystyle 2\left(\color{blue}{\frac{1}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)}\right)+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1{\small.}\)

Теңдеуді ықшамдайық:

\(\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}\sin(x)+\cancel{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)}+\cos(2x)=\cancel{\sqrt{3}\cos(x)}+1{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)+\cos(2x)=1{\small.}\)

Енді қос бұрыш формуласын пайдаланып \(\displaystyle \cos(2x)\) арқылы \(\displaystyle \sin(x){\small}\) өрнектейміз.

\(\displaystyle \cos(2x)=1-\sin^2(x){\small}\) болғандықтан,

\(\displaystyle \sin(x)+\color{blue}{\cos(2x)}=1{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)+\color{blue}{1-2\sin^2(x)}=1{\small.}\)

Теңдеуді шешеміз:

\(\displaystyle \sin(x)+\cancel{1}-2\sin^2(x)=\cancel{1}{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)-2\sin^2(x)=0{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)(1-2\sin(x))=0{\small.}\)

Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, егер олардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle 1-2\sin(x)=0{\small.}\)

Демек,

\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small.}\)