Жақшаларды ашамыз. Қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең.

Яғни

\(\displaystyle \begin{aligned}\left(12x^2+6x-6+\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=\left(12x^2\right)^{\prime}+(6x)^{\prime}+\left(\ln(x+1)^{3}\right)^{\prime}=\\[5px]=24x+6+\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}{\small.}\end{aligned}\)

\(\displaystyle \ln(x+1)^3{\small}\) құрама функциясының туындысын табу керек.

Ережені қолдана отырып, оны кезең-кезеңімен орындайық.

Әрбір кезеңнің міндеті \(\displaystyle h(g(x))\) функциясының туындысын қарапайым функцияның \(\displaystyle g(x){\small}\) туындысын есептеуге келтіру.

1-кезең. \(\displaystyle h(g(x))=\ln(x+1)^3{\small}\) деп белгілеңіз. Сонда:

\(\displaystyle\boxed{\begin{aligned}h(\color{blue}{g(x)})=\ln\color{blue}{(x+1)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=\ln(x)\\&\color{blue}{g(x)=(x+1)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(\ln(x))^{\prime}=\frac{1}{x}\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=\frac{1}{(x+1)^3}}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{(x+1)^3}}\cdot\left(\color{blue}{(x+1)^3}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Алынған:

\(\displaystyle 24x+6+\left(\ln(x+1)^3\right)^{\prime}=24x+6+{\frac{1}{(x+1)^3}}\cdot\left({(x+1)^3}\right)^{\prime}{\small.}\)

Қарапайымырақ функцияның туындысын есептеуге көшеміз \(\displaystyle (x+1)^3{\small.}\)

2-кезең. \(\displaystyle h(g(x))=(x+1)^3{\small}\) деп белгілеңіз. Сонда:

\(\displaystyle \begin{aligned}\boxed{h(\color{blue}{g(x)})=(\color{blue}{x+1})^3}\end{aligned} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h(x)=x^3\\&\color{blue}{g(x)=x+1}\end{aligned}} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(x^3)^{\prime}=3x^2\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=3(x+1)^2}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left((x+1)^3\right)^{\prime}=\color{red}{3(x+1)^2}\cdot\left(\color{blue}{x+1}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Алынған:

\(\displaystyle 24x+6+{\frac{1}{(x+1)^3}}\cdot\left({(x+1)^3}\right)^{\prime}=24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot{3(x+1)^2}\cdot\left({x+1}\right)^{\prime}{\small.}\)

Қарапайым функцияның туындысын есептеуге көшейік \(\displaystyle x+1{\small.}\)

3-кезең. \(\displaystyle \left({x+1}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}+(1)^{\prime}=1+0=1{\small}\) болғандықтан мынаны аламыз:

\(\displaystyle \begin{aligned}24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot{12(x+1)^2}\cdot\left({x+1}\right)^{\prime}=24x+6+\frac{1}{(x+1)^3}\cdot{3(x+1)^2}\cdot1=\\[5px]=24x+6+\frac{3}{x+1}{\small.}\end{aligned}\)

Функцияны бөлшек түрінде қайта жазайық:

\(\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}=\frac{(24x+6)\cdot(x+1)+3}{x+1}=\frac{24x^2+24x+6x+6+3}{x+1}=\\[5px]=\frac{24x^2+30x+9}{x+1}{\small.}\end{aligned}\)

Осы рационал өрнектің алымының түбірін табайық.

Алымды \(\displaystyle 0{\small}\) мәніне теңестіріңіз

\(\displaystyle 24x^2+30x+9=0\,|\,:\,3{\small ,}\)

\(\displaystyle 8x^2+10x+3=0{\small .}\)

Мына квадрат теңдеуді шешейік.

Дискриминантты есептейік:

\(\displaystyle D=10^2-4\cdot 8\cdot 3=100-96=4\)
и
\(\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{4}=2{\small.}\)

Теңдеудің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle x_1=\frac{-10+2}{2\cdot8}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}{\small,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-10-2}{2\cdot8}=\frac{-12}{16}=-\frac{3}{4}{\small.}\)

Енді рационал \(\displaystyle \frac{2x^2+10x+12}{x+1}{\small}\) өрнектің бөлгішінің түбірлерін табайық

\(\displaystyle x+1=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=-1{\small.}\)

Сан түзуіндегі туындының алымы мен бөлгішінің түбірін белгілеңіз. Бастапқы функцияның анықталу облысын ескере отырып \(\displaystyle x>-1{\small,}\) аламыз:

Сонымен, туындының тұрақты таңбасының интервалдары:

\(\displaystyle \left(-1;\,-\frac{3}{4}\right){\small,}\) \(\displaystyle \left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right){\small,}\) \(\displaystyle {\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}{\small.}\)

Функцияның таңбасын \(\displaystyle f^{\prime}(x)=24x+6+\frac{3}{x+1}\) аралықтардың әрқайсысында анықтайық:

\(\displaystyle \color{green}{\left(-1;\, -\frac{3}{4}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{\left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}{\small.}\)

Ол үшін интервалдардың әрқайсысынан нүктені таңдаймыз және осы нүктедегі функцияның таңбасын анықтаймыз. Аламыз:

• \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{5}{6} \in{\left(-1;\,-\frac{3}{4}\right)}}\) белгісі үшін\(f^{\prime}\left(\color{green}{-\frac{5}{6}}\right)=24\cdot\left(-\frac{5}{6}\right)+6+\frac{3}{-\frac{5}{6}+1}=-20+6+18\color{red}{>}0{\small ;}\)
• \(\displaystyle \color{blue}{x=-\frac{5}{8} \in \left(-\frac{3}{4};\, -\frac{1}{2}\right)}\) белгісі үшін
  \(\displaystyle f^{\prime}\left(\color{black}{-\frac{5}{8}}\right)=24\cdot\left(-\frac{5}{8}\right)+6+\frac{3}{-\frac{5}{8}+1}=-15+6+8\color{red}{<}0{\small ;}\)
• \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=0 \in{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}}\) белгісі үшін\(\displaystyle f^{\prime}(\textcolor{Purple}{0})=24\cdot0+6+\frac{3}{0+1}=6+3\color{red}{>}0{\small .}\)

білдіреді,

•  \(\displaystyle \color{green}{\left(-1;\, -\frac{3}{4}\right)}\) және \(\displaystyle \color{Purple}{\left(-\frac{1}{2};\,+\infty\right)}\) аралықтарында \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
• \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-\frac{3}{4};\,-\frac{1}{2}\right)}\) функциясы \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small}\) интервалында.