\(\displaystyle x^2-6x+10>0{\small }\) теңсіздігін шешейік

 \(\displaystyle x^2-6x+10=0\) квадрат теңдеуі үшін дискриминант 

\(\displaystyle {\rm D}= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0{\small .}\) 

Дискриминант теріс болғандықтан, теңдеудің нақты сандарда шешімдері жоқ.

Яғни, бүкіл сандық осьті бір аралық ретінде қарастыру керек:

Бір аралықты аламыз:

\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)

Бұл ретте бүкіл сандық түзуде \(\displaystyle f(x)=x^2-6x+10\)  функциясы бір таңбаға ие болады.

Түзудегі кез-келген нүктені таңдап, берілген нүктедегі функция таңбасын анықтайық \(\displaystyle x=0{\small }\) таңдау ең қолайлы

\(\displaystyle f(0)=0^2-6\cdot0+10=10>0{\small .}\)

 \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small }\) интервалында плюс таңбасын жазамыз

  \(\displaystyle x^2-6x+10>0\) теңсіздігінің шешімдері \(\displaystyle f(x)=x^2-6x+10\) функциясы оң болатын аралықтарға сәйкес келетіндіктен, онда

\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – ізделініп отырған шешім.

 \(\displaystyle 2x-5>0{\small }\) теңсіздігін шешейік

\(\displaystyle 2x-5>0{\small ,}\)

\(\displaystyle 2x>5{\small ,}\)

\(\displaystyle x>2{,}5{\small ,}\)

\(\displaystyle x\in (2{,}5;+\infty){\small .}\)

 \(\displaystyle 2x-5\, \cancel = \,1{\small }\) теңсіздігін шешейік

\(\displaystyle 2x-5\, \cancel = \,1{\small .}\) 

\(\displaystyle 2x\, \cancel = \,6{\small .}\) 

\(\displaystyle x\, \cancel = \,3{\small .}\) 

\(\displaystyle x\in (-\infty;3) \cup (3;+\infty){\small .}\)

Теңсіздіктер жүйесінің шешімін, яғни жиындардың қиылысын табамыз:

\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small ,}\) \(\displaystyle (2{,}5;+\infty){\small ,}\) \(\displaystyle (-\infty;3) \cup (3;+\infty){\small .}\)

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle (2{,}5;3) \cup (3;+\infty){\small .}\)

Екі көбейткіштің көбейтіндісі, егер олардың біреуі нөлге тең болса, ал екіншісі бұл ретте анықталса, нөлге айналады.

Сонда теңсіздіктің анықталу облысында келесіні аламыз

\(\displaystyle 5x-13 = 0{\small }\) немесе \(\displaystyle \log_{2x-5} (x^2-6x+10) = 0{\small ,}\)

\(\displaystyle 5x=13 {\small }\) немесе \(\displaystyle x^2-6x+10 = 1{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2{,}6 {\small }\) немесе \(\displaystyle x^2-6x+9 = 0{\small .}\)

• \(\displaystyle x=2{,}6\) саны түбір болып табылады, себебі ол теңсіздіктің анықталу облысында жатыр.

 \(\displaystyle x^2-6x+9 = 0{\small }\) квадрат теңдеуін шешеміз.

Оның дискриминанты  

\(\displaystyle {\rm D}= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0{\small .}\) 

Дискриминант нөлге тең болғандықтан, теңдеудің жалғыз түбірі бар

\(\displaystyle x= \frac{-(-6)}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}={3}{ \small .}\)

• \(\displaystyle x=3\) саны түбір болып табылмайды, себебі ол теңсіздіктің анықталу облысында жатпайды.

Осылайша, түбір – \(\displaystyle x=2{,}6{ \small .}\)

•  \(\displaystyle (2{,}5;2{,}6)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=2{,}55{\small}\) таңдаймыз 

\(\displaystyle f(2{,}55)= (5\cdot 2{,}55-13)\cdot \log _{2\cdot 2{,}55 -5} ( (2{,}55)^2-6\cdot 2{,}55+10)=\)

\(\displaystyle =(12{,}75-13)\cdot \log _{5{,}1-5} ( 6{,}5025-15{,}3+10)=(-0{,}25)\cdot \log _{0{,}1} ( 1{,}2025){\small .}\)

 \(\displaystyle \log _{0{,}1} ( 1{,}2025){\small }\) таңбасын анықтайық, яғни оны \(\displaystyle 0= \log _{0{,}1} 1{\small }\) салыстырайық.

\(\displaystyle 1{,}2025 >1{\small, }\) ал \(\displaystyle y=\log _{0{,}1}x\) логарифмдік функциясы кемиді. Сонда

\(\displaystyle \log _{0{,}1} ( 1{,}2025) <\log _{0{,}1} 1= 0{\small . }\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle f(2{,}55)=(-0{,}25)\cdot \log _{0{,}1} ( 1{,}2025)>0{\small .}\)

 \(\displaystyle (2{,}5;2{,}6){\small}\) интервалында плюс таңбасын жазамыз

 \(\displaystyle (2{,}6;3)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=2{,}8{\small }\) таңдаймыз

\(\displaystyle f(2{,}8)= (5\cdot 2{,}8-13)\cdot \log _{2\cdot 2{,}8 -5} ( (2{,}8)^2-6\cdot 2{,}8+10)=\)

\(\displaystyle =(14-13)\cdot \log _{5{,}6-5} ( 7{,}84-16{,}8+10)=1\cdot \log _{0{,}6} ( 1{,}04){\small .}\)

 \(\displaystyle \log _{0{,}1} ( 1{,}04){\small , }\) таңбасын анықтап, оны \(\displaystyle 0= \log _{0{,}6} 1{\small }\) салыстырайық.

\(\displaystyle 1{,}04 >1{\small, }\) ал \(\displaystyle y=\log _{0{,}6}x\) логарифмдік функциясы кемиді. Сонда

\(\displaystyle \log _{0{,}6} ( 1{,}04) <\log _{0{,}6} 1= 0{\small . }\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle f(2{,}8=\log _{0{,}6} ( 1{,}04))<0{\small .}\)

 \(\displaystyle (2{,}6;3){\small}\) интервалында минус таңбасын жазамыз

 \(\displaystyle (3;+\infty)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=4{\small }\) таңдаймыз

\(\displaystyle f(4)= (5\cdot 4-13)\cdot \log _{2\cdot 4 -5} ( 4^2-6\cdot 4+10)=(20-13)\cdot \log _{8-5} ( 16-24+10)=7\cdot \log _{3}2{\small .}\)

 \(\displaystyle \log _{3}2{\small }\) таңбасын анықтаймыз, яғни оны \(\displaystyle 0= \log _{3} 1{\small }\) салыстырамыз.

\(\displaystyle 2 >1{\small, }\) ал \(\displaystyle y=\log _{3}x\) логарифмдік функция өседі. Сонда

\(\displaystyle \log _{3} 2>\log _{3} 1=0{\small .}\) 

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle f(4)=7\cdot \log _{3}2>0\)

 \(\displaystyle (3;+\infty){\small}\) интервалында плюс таңбасын жазамыз