Суретте \(\displaystyle A\) нүктесінде қиылысатын \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x} \) және \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small}\) функцияларының графиктері көрсетілген. \(\displaystyle A\) нүктесінің абсциссасын табыңыз.
Есептің шарты бойынша, \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x} \) және \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b\) функцияларының графиктері \(\displaystyle A\) нүктесінде қиылысады. \(\displaystyle A\) нүктесінің өзін біз суреттен көріп тұрған жоқпыз.
1. \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}{ \small}\) функция теңдеуінен \(\displaystyle a\) коэффициентін табамыз.
\(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}\) функциясының графигінде координаталары \(\displaystyle (\color{blue}{4};\color{green}{5}){ \small}\) болатын нүктенің белгіленгенін ескереміз.
Демек, оның \(\displaystyle x=\color{blue}4\) және \(\displaystyle y=\color{green}5\) координаталарын \(\displaystyle y=a \sqrt{x}\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз.
Ауыстыру арқылы келесі теңдеуді аламыз:
\(\displaystyle \color{green}5=a\cdot \sqrt{\color{blue}4}{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5=a \cdot 2{ \small ,} \)
осы жерден
\(\displaystyle a=2{,}5{ \small .}\)
Осылайша, бастапқы функция келесідей болады:
\(\displaystyle f\left(x\right)=2{,}5\sqrt{x} \small.\)
2. \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small }\) түзуінің теңдеуінен \(\displaystyle k\) және \(\displaystyle b\) коэффициенттерін табамыз.
Суреттен \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small}\) функциясының графигіне координаталары \(\displaystyle (2;-2)\) болатын \(\displaystyle С\) нүктесі және координаталары \(\displaystyle (4;-1)\) болатын \(\displaystyle D\) нүктелері жататынын көреміз.
\(\displaystyle C(2;\,-2)\) және \(\displaystyle D(4;-1)\) нүктелерінің координаталарын \(\displaystyle y=kx+b\,{\small} \) түзуінің теңдеуіне қоямыз.
\(\displaystyle C(\color{blue}{ 2};\color{green}{-2}) \) нүктесі \(\displaystyle x=\color{blue}{ 2}\)және \(\displaystyle y=\color{green}{ -2}{\small}\) координаталарына ие, сондықтан
\(\displaystyle \color{green}{-2}=k\cdot \color{blue}{ 2}+b \)
немесе, дәл солай
\(\displaystyle 2k+b=-2{\small . }\)
\(\displaystyle D(\color{blue}{ 4};\color{green}{ -1}) \) нүктесі \(\displaystyle x=\color{blue}{ 4}\) және \(\displaystyle y=\color{green}{ -1}{\small}\) координаталарына ие, сондықтан
\(\displaystyle \color{green}{ -1}=k\cdot \color{blue}{ 4}+b {\small , }\)
немесе, дәл солай
\(\displaystyle 4 k+b=-1{\small . } \)
\(\displaystyle k \) және \(\displaystyle b {\small}\) коэффициенттері үшін екі теңдеу алдық. Теңдеулер жүйесін жазамыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2k+b&=-2{\small , }\\4k+b&=-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Осы жүйені шешейік.
Осылайша, \(\displaystyle k=0{,}5 \) және \(\displaystyle b=-3{\small . } \)
\(\displaystyle k \) және \(\displaystyle b \) үшін табылған мәндерді \(\displaystyle y=kx+b{\small } \) түзуінің теңдеуіне қойып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle y=0{,}5x-3{\small . } \)
3. \(\displaystyle A\) нүктесінің абсциссасын табамыз.
\(\displaystyle A\) нүктесі – \(\displaystyle f\left(x\right)=2{,}5\sqrt{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=0{,}5x-3{\small}\) функция графиктерінің қиылысу нүктесі. Демек, оның координаталары екі функцияның теңдеулерін қанағаттандырады:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=2{,}5\sqrt{x}{ \small ,}\\y&=0{,}5x-3{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle y=2{,}5\sqrt{x}\) және \(\displaystyle y=0{,}5x-3{ \small}\) болғандықтан, онда:
\(\displaystyle 2{,}5\sqrt{x}=0{,}5x-3 { \small .}\)
\(\displaystyle 2{,}5\sqrt{x}=0{,}5x-3 \phantom{1} \big| \cdot 2 { \small ,}\)
\(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6 { \small ,}\)
Алынған теңдеуді шешейік.
\(\displaystyle \small {\sqrt{f(x)}=g(x)}\) түріндегі иррационал теңдеу төмендегі жүйеге пара-пар
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g^2(x){ \small ,}\\g(x)&\ge0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Осы ережені қолданайық.
Сонда \(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6\) теңдеуі келесі жүйеге пара-пар:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}25x&=(x-6)^2{ \small ,}\\x-6&\ge0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}25x&=x^2-12x+36{ \small ,}\\x&\ge6{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-37x+36&=0{ \small ,}\\x&\ge6{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle x^2-37x+36=0{\small}\) квадрат теңдеуін шешейік.
\(\displaystyle x=1\) түбірі \(\displaystyle x\ge6{ \small}\) теңсіздігін қанағаттандырмайды.
\(\displaystyle x=36\) түбірі \(\displaystyle x\ge6{ \small}\) теңсіздігін қанағаттандырады.
Демек, \(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6\) иррационал теңдеуінің шешімі \(\displaystyle x=36{ \small}\) болып табылады.
Осылайша, \(\displaystyle A\) нүктесінің абсциссасы \(\displaystyle 36{\small}\) тең.
Жауабы: \(\displaystyle 36{\small.}\)