Суретте \(\displaystyle f(x)=a^{x +b}{\small}\) функцияның графигі көрсетілген. \(\displaystyle f(x)=32{\small}\) болатын \(\displaystyle x\) мәнін табыңыз.
\(\displaystyle x=\)
\(\displaystyle f(x)=32{ \small}\) болатын \(\displaystyle x{\small}\) мәндерін табу үшін,
- белгісіз \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b{ \small}\) коэффициенттерін табамыз,
- \(\displaystyle a^{x +b}=32{ \small}\) теңдеуін шешеміз.
Есеп шартында \(\displaystyle f(x)=a^{x +b} { \small}\) көрсеткіштік функциясы берілген.
Көрсеткіштік функция бірліктен басқа оң негіз үшін ғана анықталғандықтан, бізде \(\displaystyle a { \small}\) параметріне шектеулер бар:
\(\displaystyle a>0{ \small ,}\) \(\displaystyle a\,\cancel{=}\, 1{ \small .}\)
\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b{ \small}\) қатысты теңдеулер жүйесін құрастырамыз және оны шешеміз.
\(\displaystyle (\color{blue}{-3};\color{blue}{1})\) және \(\displaystyle (\color{green}{1};\color{green}{4})\) нүктелері функция графигінде жататынын ескереміз.
Демек,
- \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}\) және \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\) координаталарын \(\displaystyle y=a^{x +b}\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз;
- \(\displaystyle x=\color{green}1\) және \(\displaystyle y=\color{green}{4}\) координаталарын \(\displaystyle y=a^{x +b}\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз.
Осылайша, теңдеулер жүйесін аламыз
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=a^{\color{blue}{-3} +b}{ \small ,}\\\color{green}{4}&=a^{\color{green}{1} +b}{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle a>0{ \small ,}\) \(\displaystyle a\,\cancel{=}\, 1{ \small}\) екенін ескере отырып, жүйенің бірінші теңдеуін келесі түрде қайта жазамыз:
\(\displaystyle a^0=a^{-3+b}{ \small .}\)
Осы жерден
\(\displaystyle -3+b=0{ \small ,}\)
яғни
\(\displaystyle b=3{ \small .}\)
Жүйенің екінші теңдеуіне \(\displaystyle b=3{ \small}\) қоямыз:
\(\displaystyle 4=a^{1+3}=a^4{ \small .}\)
\(\displaystyle a>0{ \small}\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle a=\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^{2}} =\sqrt2{ \small .}\)
Сонымен,
\(\displaystyle a=\sqrt2\) және \(\displaystyle b=3{ \small .}\)
Осылайша, бастапқы функция келесідей болады:
\(\displaystyle y=(\sqrt2) ^{x +3}{ \small .}\)
\(\displaystyle f(x)\) функциясының мәндері \(\displaystyle 32{ \small}\) тең болатын \(\displaystyle x{ \small}\) мәндерін табайық.
Барлық осындай \(\displaystyle x\) келесі теңдеуді қанағаттандырады
\(\displaystyle (\sqrt2) ^{x +3}=32{ \small .}\)
Оны шешейік.
\(\displaystyle (\sqrt2) ^{x +3}=(\sqrt2) ^{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle x+3=10{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=7{ \small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle x=7{ \small .}\)