Теңдеуі \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\) екі теңдеуге мәндес:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) және \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Теңдеудің түбірлерін \(\displaystyle \sin(x)=0\) аралықтан \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small}\) таңдаңыз:
\(\displaystyle x_1=-2\pi{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-\pi{\small.}\)
\(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз,
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant -\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant 2n\leqslant -1{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{5}{4}\leqslant n \leqslant -\frac{1}{2}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -1{\small}\) яғни, \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
\(\displaystyle n=-1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle 2\pi n{ \small }\) аламыз:
\(\displaystyle 2\pi \cdot (-1)=-2\pi{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_2 \leqslant -\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant\pi+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant1+ 2n\leqslant -1{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle 1{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}-1\leqslant 2n\leqslant -1-1{\small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{7}{2}\leqslant 2n\leqslant -2{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{7}{4}\leqslant n \leqslant -1{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -1{\small}\) яғни, \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
\(\displaystyle n=-1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small }\) аламыз:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot (-1)=-\pi{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle -2\pi\) және \(\displaystyle -\pi{\small }\) шешімдері бар.
Жауабы: \(\displaystyle -2\pi\) және \(\displaystyle -\pi{\small .}\)