\(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\) теңдеуі
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) екі теңдеулерыне тең.
\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\) және \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi \right]{\small}\) аралықтан \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз.
\(\displaystyle x_1=-\frac{11\pi}{6}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-\frac{7\pi}{6}{\small.}\)
\(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small}\) кесіндісінен түбірлерді таңдайық
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant -\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant -1{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{1}{6}\leqslant 2n\leqslant -1-\frac{1}{6} {\small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{8}{3}\leqslant2n\leqslant -\frac{7}{6}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small }\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{4}{3}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{12}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -1\) яғни, \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
\(\displaystyle n=-1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small }\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot (-1)=-\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_2 \leqslant -\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті оң \(\displaystyle \pi{\small}\) санына бөлейік:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{5}{6}+2n\leqslant -1{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{5}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{5}{6}\leqslant 2n\leqslant -1-\frac{5}{6} {\small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{10}{3}\leqslant2n\leqslant -\frac{11}{6}{ \small .}\)
\(\displaystyle n\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{5}{3}\leqslant n \leqslant -\frac{11}{12}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -1\) яғни, \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
\(\displaystyle n=-1\) \(\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi n\)- ге ауыстыру арқылы,
\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi \cdot (-1)=-\frac{7\pi}{6}\) аламыз.
Осылайша, \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]\) кесіндідегі \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің екі шешімі бар \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}\) және \(\displaystyle -\frac{7\pi}{6}{\small}\).
Жауабы: \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}\) және \(\displaystyle -\frac{7\pi}{6}{\small.}\)