Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{ \small ,}\\|x|&> 3{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x \in \)
Модуль
\(\displaystyle x\) айнымалысы үшін \(\displaystyle |x|{ \small }\) деп белгіленген \(\displaystyle x{ \small }\) модуль функциясы келесідей анықталады
\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ егер } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ егер } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Сонда, осы анықтамаға сәйкес, екі жағдайды аламыз:
- \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
- \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)
Тапсырманың шарты бойынша \(\displaystyle x \le -4{\small .}\) Демек, барлық \(\displaystyle x\) теріс, және сондықтан \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)
Онда жүйе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{ \small ,}\\|x|&> 3\end{aligned}\right.\)
келесі жүйеге тең
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{\small ,}\\-x&> 3{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған жүйені екінші теңдеуді \(\displaystyle -1\) көбейтіп, теңсіздік таңбасын керісінше өзгерту арқылы шешейік:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4\\-x&> 3 \,| \cdot (\color{blue}{ -1})\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -4{ \small ,}\\x&< -3{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешейік.
\(\displaystyle x\le -4\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
\(\displaystyle x<-3\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:
Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle -4\) кем немесе тең және \(\displaystyle -3\) кем болады:
Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.
Демек, жауабы – \(\displaystyle x\in (-\infty;-4]{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle x\in (-\infty;-4]{\small .} \)