Сначала выберем параметр, который встречается в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). Пусть, например, это будет параметр \(\displaystyle a.\) Сгруппируем все члены с данным параметром в одни скобки, а остальные – в другие:

\(\displaystyle 18\color{red}{a}b+3\color{red}{a}c-24b^{\,2}-4bc=(18\color{red}{a}b+3\color{red}{a}c\,)+(-24b^{\,2}-4bc\,).\)

Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (18ab+3ac\,)\) (которое, как мы решили, содержит параметр \(\displaystyle a\)).

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 3\) равен \(\displaystyle 3.\)
2. Общий параметр у выражений \(\displaystyle ab\) и \(\displaystyle ac\) –  это параметр \(\displaystyle a.\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle 18ab+3ac\) равен \(\displaystyle 3a.\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 18ab+3ac=3a\,(6b+c\,).\)

Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-24b^{\,2}-4bc\,)\).

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 24\) и \(\displaystyle 4\) равен \(\displaystyle 4.\)
2. Общий параметр у выражений \(\displaystyle b^{\,2}\) и \(\displaystyle bc\) –  это параметр \(\displaystyle b.\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle -24b^{\,2}-4bc\) равен \(\displaystyle 4b.\) Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle -24b^{\,2}-4bc=4b\,(-6b-c\,).\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle (18ab+3ac\,)+(-24b^{\,2}-4bc\,)= 3a\,(6b+c\,)+4b\,(-6b-c\,).\)

Заметим, что множители \(\displaystyle (6b+c\,)\) и \(\displaystyle (-6b-c\,)\) отличаются только знаком, то есть

\(\displaystyle (-6b-c\,)=-(6b+c\,).\)

Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-6b-c\,)\) на \(\displaystyle -(6b+c\,)\):

\(\displaystyle \begin{array}{l} 3a\,(6b+c\,)+4b\,\color{red}{(-6b-c\,)}= \\[10px] \kern{5em} =3a\,(6b+c\,)+4b\,\color{red}{\Big(-(6b+c\,)\Big)}= \\[10px] \kern{10em} =3a\,(6b+c\,)-4b\,(6b+c\,). \end{array}\)

Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (6b+c\,).\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 3a\,\color{blue}{(6b+c\,)}-4b\,\color{blue}{(6b+c\,)}=\color{blue}{(6b+c\,)} (3a-4b\,).\)

Таким образом,

\(\displaystyle 18ab+3ac-24b^{\,2}-4bc=(6b+c\,) (3a-4b\,).\)

Ответ: \(\displaystyle (6b+c\,) (3a-4b\,).\)