Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Окружность (вычисление)

Задание

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся, как \(\displaystyle 6:7:23 {\small.}\) Найдите меньший угол треугольника.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABC\) – треугольник, вписанный в окружность. При этом

\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}:\overset{\smile}{BC}:\overset{\smile}{AC}=6:7:23 {\small.} \)

Найдём градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Обозначим \(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=6t {\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{BC}=7t {\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AC}=23t {\small.}\)

Поскольку градусная мера окружности равна \(\displaystyle 360^{\circ} {\small,}\) то

\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}+\overset{\smile}{AC}=360^{\circ} {\small.} \)

Получаем

\(\displaystyle 6t+7t+23t=360^{\circ} {\small,}\)

\(\displaystyle 36t=360^{\circ} {\small,}\)

\(\displaystyle t=10^{\circ} {\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=60^{\circ} {\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{BC}=70^{\circ} {\small,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AC}=230^{\circ} {\small.}\)

Правило

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Найдём градусные меры углов треугольника \(\displaystyle ABC {\small:}\)

\(\displaystyle \angle A = \frac{1}{2}\cdot \overset{\smile}{BC}=\frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} =35^{\circ}{\small,} \\ \)

\(\displaystyle \angle B = \frac{1}{2}\cdot \overset{\smile}{AC}=\frac{1}{2} \cdot 230^{\circ}=115^{\circ}{\small,} \\ \)

\(\displaystyle \angle C = \frac{1}{2}\cdot \overset{\smile}{AB}=\frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} =30^{\circ}{\small.} \)

 

\(\displaystyle \angle C =30^{\circ}\) – меньший угол треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 30 {\small.}\)