По условию задачи выполним чертёж.

\(\displaystyle ABC\) – треугольник. \(\displaystyle BE\) – медиана треугольника. Значит, \(\displaystyle AE=EC {\small.}\) \(\displaystyle AD\) – биссектриса угла \(\displaystyle A{\small.}\) Значит, \(\displaystyle \angle BAD=\angle CAD {\small.}\) \(\displaystyle K\) – точка пересечения \(\displaystyle BE\) и \(\displaystyle AD{\small.}\) \(\displaystyle AD \perp BE\) и \(\displaystyle AD=12 {\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle AK{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle AK=x {\small,}\) тогда \(\displaystyle KD=12-x {\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Построим отрезок \(\displaystyle DL\) параллельно медиане \(\displaystyle BE{\small.}\)

Правило

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

\(\displaystyle \color{blue}a \nparallel \color{green}b\) – секущие \(\displaystyle \color{brown}{l_1} \parallel \color{brown}{l_2} \parallel \color{brown}{l_3} \parallel \color{brown}{l_4} \)– параллельные прямые   \(\displaystyle \color{brown}{\frac{\color{blue}{A_1A_2}}{ \color{green}{B_1B_2}}}=\color{brown}{\frac{\color{blue}{A_2A_3}}{ \color{green}{B_2B_3}}}=\color{brown}{\frac{\color{blue}{A_3A_4}}{ \color{green}{B_3B_4}}} \)

получаем:

\(\displaystyle \frac{AK}{KD}= \frac{AE}{EL} {\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{AE}{EL} {\small.}\)

Пусть \(\displaystyle AE=EC=a {\small.}\) Тогда

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{a}{EL} {\small.}\)

Выразим \(\displaystyle EL\) через \(\displaystyle a {\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle BCE{\small.}\)

По построению \(\displaystyle DL \parallel BE {\small.}\) По обобщённой теореме Фалеса получаем: \(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{BD}{DC}{\small.}\)

По условию задачи \(\displaystyle AD\) – биссектриса треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Правило

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{AB}}{\color{red}{BC}}=\frac{\color{blue}{AD}}{\color{red}{CD}}\)

получаем:

\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}{\small.} \)

Значит,

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{AB}{AC}{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABE {\small.}\)

Так как биссектриса \(\displaystyle AK\) является и высотой треугольника \(\displaystyle ABE {\small,}\) то \(\displaystyle \triangle ABE \) – равнобедренный.

Следовательно, \(\displaystyle AB=AE=a {\small.}\) Поскольку \(\displaystyle AC=AE+EC \) и \(\displaystyle AE=EC=a {\small,}\) то \(\displaystyle AC=2 \cdot a{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{AB}{AC}= \frac{a}{2 \cdot a}=\frac{1}{2}{\small.}\\ \)

То есть \(\displaystyle LC=2 \cdot EL {\small.}\) По рисунку \(\displaystyle EC=EL+LC {\small.}\) Тогда \(\displaystyle a=EL+ 2 \cdot EL=3 \cdot EL{\small.}\) Значит, \(\displaystyle EL= \frac{1}{3} \cdot a {\small.}\)

Так как

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{a}{EL} \)          и          \(\displaystyle \frac{a}{EL}=\frac{\cancel{a}}{\frac{1}{3} \cdot \cancel{a}}=3 {\small,}\)

то

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= 3 {\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle x=3 \cdot (12-x) {\small;}\)

\(\displaystyle x=36-3x {\small;}\)

\(\displaystyle 4 \cdot x=36 {\small;}\)

\(\displaystyle x=9 {\small.}\)

Значит, \(\displaystyle AK=9 {\small.}\) 

Ответ: \(\displaystyle 9 {\small.}\)