По условию задачи построим чертёж.

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность, при этом:

\(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания трапеции, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны, По условию: \(\displaystyle P_{ABCD}=100\) – периметр трапеции, \(\displaystyle S_{ABCD}=500\) – площадь трапеции.

Требуется найти длины оснований трапеции.

Сначала найдем боковую сторону и высоту трапеции.

По условию задачи в равнобедренную трапецию вписана окружность.

Правило

Сумма противоположных сторон описанного четырехугольника

Суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

\(\displaystyle \color{blue}{AB}+\color{blue}{CD}=\color{red}{BC}+\color{red}{AD}\)

Периметр трапеции – это сумма длин всех сторон трапеции.

\(\displaystyle P_{ABCD}=AD+BC+AB+CD {\small.}\)

Следовательно, сумма оснований и сумма боковых сторон равна половине периметра:

\(\displaystyle AD+BC=AB+CD=\frac{1}{2} \cdot P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 100=50{\small.}\)

Так как трапеция равнобедренная \(\displaystyle (AB=CD) {\small,}\) то

\(\displaystyle AB+CD =2 \cdot AB {\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle AD+BC=2\cdot AB=50{\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{AD+BC}{2}=AB=25{\small.} \)

Далее найдём высоту трапеции.   Из точки \(\displaystyle B\) построим перпендикуляр \(\displaystyle BH\) к основанию\(\displaystyle AD{\small.}\) \(\displaystyle BH\)– высота трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

Воспользуемся формулой площади трапеции.

Правило

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{a}+\color{blue}{b}}{2}\cdot \color{red}{h}\)

Получаем

\(\displaystyle S_{ABCD}= \frac{AD+BC}{2} \cdot BH{\small.}\\ \)

Подставим в формулу площади известные значения \(\displaystyle (S_{ABCD}=500{\small,} \) \(\displaystyle \frac{AD+BC}{2}=25) \) и найдем \(\displaystyle BH{\small:}\\ \)

\(\displaystyle 500=25 \cdot BH{\small,}\)

\(\displaystyle BH=20{\small.}\)

Найдем основания \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Из вершины \(\displaystyle C\) опустим перпендикуляр \(\displaystyle CN\) на основание на \(\displaystyle AD {\small.}\) \(\displaystyle BH=CN=20\) – высоты трапеции. \(\displaystyle BCNH\) – прямоугольник. Значит, \(\displaystyle HN=BC {\small.}\) Тогда \(\displaystyle AD=AH+BC+DN {\small.}\)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCN {\small.}\)

\(\displaystyle AB=CD=25{\small;}\) \(\displaystyle BH=CN=20 {\small.}\)  Значит,\(\displaystyle \triangle ABH= \triangle DCN\) (по гипотенузе и катету). Следовательно, \(\displaystyle AH=DN {\small.}\)

Из треугольника \(\displaystyle ABH\) по теореме Пифагора

\(\displaystyle AH^2=AB^2-BH^2 {\small;}\)

\(\displaystyle AH^2=25^2-20^2=625-400=225=15^2 {\small.}\)

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то \(\displaystyle AH=15 {\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle AD=AH+BC+DN {\small;}\)

\(\displaystyle AD=15+BC+15=BC+30{\small.}\)

Зная сумму оснований, найдем длины оснований \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD{\small.}\)

\(\displaystyle AD+BC=50 {\small;}\)

\(\displaystyle BC+30+BC=50 {\small;}\)

\(\displaystyle 2 \cdot BC=20 {\small;}\)

\(\displaystyle BC=10{\small;}\)

\(\displaystyle AD=50-BC=50-10=40{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle BC=10{\small;}\) \(\displaystyle AD=40{\small.}\)