Задание
Найдите корень уравнения:
\(\displaystyle (x-8)^9=-1{\small .}\)
Решение
Извлечем корень девятой степени из обеих частей уравнения, чтобы избавиться от степени:
\(\displaystyle \sqrt[9]{(x-8)^9}=\sqrt[9]{-1}{ \small ,}\)
и воспользуемся правилом.
Правило
Корень из степени
\(\displaystyle \sqrt[n]{f(x)^{n}}=\left\{\begin{aligned}&f(x), \, если \, n\, нечетное,\\&|f(x)|, \, если \, n\, четное.\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 9\) нечетное число, то
\(\displaystyle \sqrt[9]{(x-8)^9}=x-8{\small ;}\)
\(\displaystyle \sqrt[9]{-1}=\sqrt[9]{(-1)^9}=-1{\small .}\)
Получаем линейное уравнение
\(\displaystyle x-8=-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=-1+8{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=7{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 7{\small .}\)