Раскроем скобки. Производная суммы равна сумме производных.

То есть 

\(\displaystyle\left((x-2)^2(x-4)+5\right)^{\prime}=\left((x-2)^2(x-4)\right)^{\prime}+(5)^{\prime}{\small.}\)

Так как производная от числа равна \(\displaystyle 0\), то \(\displaystyle (5)^{\prime}=0{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle\left((x-2)^2(x-4)\right)^{\prime}+(5)^{\prime}=\left((x-2)^2(x-4)\right)^{\prime}+0=\left((x-2)^2(x-4)\right)^{\prime}{\small.}\)

Воспользуемся правилом дифференцирования:

Получаем:

\(\displaystyle\left(\color{green}{(x-2)^2}\cdot\color{blue}{(x-4)}\right)^{\prime}=\left(\color{green}{(x-2)^2}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{(x-4)}+\color{green}{(x-2)^2}\cdot\left(\color{blue}{x-4}\right)^{\prime}{\small.}\)

Вычислим производные:

• \(\displaystyle \color{green}{\left((x-2)^2\right)^{\prime}= \left(x^2-4x+4\right)^{\prime}= \left(x^2\right)^{\prime}-(4x)^{\prime}+(4)^{\prime}= 2x-4 }{\small,}\)
• \(\displaystyle \color{blue}{ \left(x-4\right)^{\prime}= \left(x\right)^{\prime}-(4)^{\prime}= 1 }{\small.} \)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{green}{\left((x-2)^2\right)^{\prime}}\cdot{(x-4)}+{(x-2)^2}\cdot\color{blue}{\left(x-4\right)^{\prime}}=\color{green}{(2x-4)}\cdot{(x-4)}+{(x-2)^2}\cdot\color{blue}{1}=\\[5px]={(2x-4)}{(x-4)}+{(x-2)^2}{\small.}\end{aligned}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)=\left((x-2)^2(x-4)+5\right)^{\prime}=\left((x-2)^2(x-4)\right)^{\prime}=\left({(x-2)^2}\cdot{(x-4)}\right)^{\prime}=\\[5px]={(2x-4)}{(x-4)}+{(x-2)^2}{\small.}\end{aligned}\)

Решим квадратное уравнение \(\displaystyle 3x^2-16x+20=0{\small.}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle D=(-16)^2-4\cdot3\cdot20=256-240=16\)
и
\(\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4{\small.}\)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1=\frac{-(-16)+4}{2\cdot3}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}{\small,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-16)-4}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle x_1=\frac{10}{3}\) и \(\displaystyle x_2=2\) – корни квадратного уравнения  \(\displaystyle 3x^2-16x+20=0{\small.}\)   

Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-16x+20\) на каждом из интервалов:

\(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{\left(2;\, \frac{10}{3}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(\frac{10}{3};\, +\infty\right)}{\small.}\)

Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:

• для \(\displaystyle \color{green}{x=0\in(-\infty;\,2)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{0})=3\cdot0^2-16\cdot0+20=20\color{red}{>}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \color{blue}{x=3\in\left(2;\, \frac{10}{3}\right)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{3})=3\cdot 3^2-16\cdot 3 + 20=27-48+20=-1\color{red}{<}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=10\in\left(2;\, \frac{10}{3}\right)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\textcolor{Purple}{10})=3\cdot 10^2-16\cdot10+20=300-160+20\textcolor{red}{>}0{\small.}\)

Значит,

• на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(\frac{10}{3};\, +\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
• на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(2;\, \frac{10}{3}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)