\(\displaystyle {3 \cdot 45^x-3 \cdot 27^x -28 \cdot 15^x + 28 \cdot 9^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0}{\small .}\)

Переменная содержится только в показателях степеней с основаниями \(\displaystyle 3{\small ,} \,\, 5 {\small ,} \,\, 9 {\small ,} \,\, 27\) и \(\displaystyle 45{\small .}\)

Заметим, что: 

• \(\displaystyle 9=3^2{\small ;} \, \,27=3^3{\small ;}\\\)
• \(\displaystyle 15=3 \cdot 5 {\small ,} \,\,45=9 \cdot 5=3^2 \cdot5 {\small .}\)

Представим основания степеней в виде степеней чисел \(\displaystyle 3 {\small ,} \,\, 5 {\small }\) или их произведений:

\(\displaystyle {3 \cdot (3^2 \cdot 5)^x-3 \cdot (3^3)^x -28 \cdot (3\cdot 5)^x + 28 \cdot (3^2)^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0}{\small .}\)

Воспользуемся свойствами степени:

\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-3 \cdot 3^{3x} -28 \cdot 3^x \cdot 5^x +28 \cdot 3^{2x} +9 \cdot 5^x-9\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)

Заметим пары равных коэффициентов:

\(\displaystyle {\color{Blue}{3} \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-\color{Blue}{3} \cdot 3^{3x} -\color{Magenta}{28} \cdot 3^x \cdot 5^x+\color{Magenta}{28} \cdot 3^{2x} +\color{Green}{9} \cdot 5^x-\color{Green}{9}\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)

Сгруппируем слагаемые с равными коэффициентами и в каждой паре вынесем за скобку общий множитель:

\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} (5^x- 3^{x}) -28\cdot3^x ( 5^x -3^{x} )+9 \cdot(5^x-3^{x} )\leqslant 0}{\small .}\)

Получили, что каждое слагаемое содержит общий множитель \(\displaystyle 5^x -3^{x} {\small .}\) Вынесем его за скобку.

Получим:

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small .}\)