Чтобы вычислить \(\displaystyle f(123){ \small ,}\) найдём сначала значение \(\displaystyle b{ \small .}\)

Заметим, что на графике функции  \(\displaystyle f(x)=\log _{5}(x+b)\) отмечена точка с координатами  \(\displaystyle (\color{blue}3;\color{blue}1){ \small .}\) 

Значит, при подстановке её координат \(\displaystyle x=\color{blue}3\) и \(\displaystyle y=\color{blue}1\) в уравнение \(\displaystyle y=\log _{5} (x+b)\)
получим верное равенство.

Подставляя, получаем логарифмическое уравнение:

\(\displaystyle {\color{blue}1=\log _{5} (\color{blue}3+b)}{ \small .} \)

Решим его.

По определению, \(\displaystyle \log_c v=u\) равносильно \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)

Поэтому уравнение

\(\displaystyle \log_5(3+b)=1\) равносильно \(\displaystyle 3+b=5^1{\small .} \)

\(\displaystyle 3+b=5{\small ,} \)

\(\displaystyle b={2}{\small .}\)

Таким образом, исходная функция имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=\log _{5} (x+2){ \small .}\)

Тогда

\(\displaystyle f(123)=\log _{5} (123+2)=\log _{5} 125=3{ \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle f(123)=3{\small .}\)