Евклид алгоритмін қолдана отырып, \(\displaystyle 35\) және \(\displaystyle 45\) сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз:
\(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(35, 45) = \)
ЕҮОБ (a, b)
үшін Евклид алгоритмі1. \(\displaystyle b>a\) болсын. Үлкен \(\displaystyle b\) кіші \(\displaystyle a\)-ға қалдықпен бөлеміз:
\(\displaystyle b=a\cdot n+ {\bf r}\).
2. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(a,b)=\text{ЕҮОБ}(a,{\bf r})\).
3. Егер \(\displaystyle {\bf r}=0\), онда \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(a,{\bf r})=a\). Егер \(\displaystyle {\bf r}=\not 0\), онда \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(a,{\bf r})\) іздейміз (бірақ енді \(\displaystyle a>{\bf r}\)).
\(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(35, 45)\) табайық.
1-қадам. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(35, 45)\) Евклид алгоритмін қолданайық.
1. \(\displaystyle 45> 35\) болғандықтан, \(\displaystyle 45\)-ті \(\displaystyle 35\)-ке қалдықпен бөлеміз: \(\displaystyle 45=35\cdot 1+{\bf 10}\).
2. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(35, 45)=\text{ЕҮОБ}(35,{\bf 10})\).
3. \(\displaystyle {\bf 10} =\not 0\) болғандықтан, \(\displaystyle 2\)-қадамға өтеміз .
2-қадам. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(35, 10)=\text{ЕҮОБ}(10, 35)\) Евклид алгоритмін қолданайық.
1. \(\displaystyle 35> 10\) болғандықтан, \(\displaystyle 35\)-ті на \(\displaystyle 10\)-ға қалдықпен бөлеміз: \(\displaystyle 35=10\cdot 3+{\bf 5}\).
2. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(10, 35)=\text{ЕҮОБ}(10,{\bf 5})\).
3. \(\displaystyle {\bf 5} =\not 0\) болғандықтан,\(\displaystyle 3\)-қадамға өтеміз .
3-қадам. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(10, 5)=\text{ЕҮОБ}(5, 10)\) Евклид алгоритмін қолданайық.
1. \(\displaystyle 10> 5\) болғандықтан, \(\displaystyle 10\)-ды \(\displaystyle 5\)-ке қалдықпен бөлеміз: \(\displaystyle 10=5\cdot 2+{\bf 0}\).
2. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(5, 10)=\text{ЕҮОБ}(5,{\bf 0})\).
3. \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(5,{\bf 0})=5\).
Жауабы: \(\displaystyle \text{ЕҮОБ}(35, 45)=5\).