Сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Бірінші теңдеуді \(\displaystyle 5\)-ке көбейтіп, екінші теңдеуден шығарыңыз. Екінші теңдеудің орнына ұқсас жүйені келтіргеннен кейін нәтижені жазыңыз:
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle 2x-3y=1{\small ,}\) |
Алынған теңдеулер жүйесін шешіңіз:
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Біз бірінші теңдеуді \(\displaystyle 5\) -ке көбейтіп, оны екінші теңдеуден алып тастауымыз керек.
Алдымен, берілген жүйеде бірінші \(\displaystyle 2x-3y=1\) теңдеуінің екі бөлігін \(\displaystyle 5 \)-ке көбейтеміз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 5}\cdot (2x-3y\,)=&\color{blue}{ 5}\cdot 1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Бірінші теңдеуде жақшаларды ашыңыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 5}\cdot 2x-\color{blue}{ 5}\cdot 3y=&\color{blue}{ 5}\cdot 1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Көбейту арқылы келесі жүйені аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}10x-15y=&5{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Енді біз осы жүйеде біріншісін екінші теңдеуден аламыз (оны \(\displaystyle 5\)-ке көбейтеміз). Ол үшін екінші теңдеудің әр бөлігінен алынған бірінші теңдеудің тиісті бөлігін аламыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 10x-15y}=&\color{blue}{ 5}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-15y}=&\color{green}{ -1}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 10x-15y}=&\color{blue}{ 5}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-15y}-(\color{blue}{ 10x-15y}\,)=&\color{green}{ -1}-\color{blue}{ 5}{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Біз екінші теңдеуден \(\displaystyle 5 \)-ке көбейтілген бірінші теңдеуді алып тастадық. Енді бірінші теңдеуді бастапқы теңдеумен алмастырыңыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\\color{green}{ 7x-15y}-(\color{blue}{ 10x-15y}\,)=&\color{green}{ -1}-\color{blue}{ 5}{\small . }\end{aligned}\right.\)
Жақшаларды ашамыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\7x-15y-10x+15y=&-1-5{\small . }\end{aligned}\right.\)
Екінші теңдеуде ұқсастарын келтіреміз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ 7x}-\color{green}{ 15y}-\color{blue}{ 10x}+\color{green}{ 15y}=&-1-5{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ -3x}=&-6{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Осылайша, екінші теңдеуінен \(\displaystyle 5\ \)-ке көбейтілген бірінші теңдеуді алып тастағаннан кейін, берілген жағдайда жүйе келесідей болады:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\\bf -3x=&\bf -6{\small . }\end{aligned}\right.\)
Алынған теңдеулер жүйесін шешеміз. Ол үшін алдымен екінші теңдеуден \(\displaystyle x \) мәнін табыңыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ -3x}=&-6{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ x}=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Енді табылған \(\displaystyle x \) мәнін бірінші теңдеуге ауыстырамыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2\cdot 2-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 4-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Бірінші теңдеуден \(\displaystyle y\, \) мәнін табамыз:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 4-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3y=&-3{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} y=&1{\small , }\\ x=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Осылайша, теңдеулер жүйесінде шешім бар:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=&\bf 2{\small , }\\y=&\bf 1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Жауабы: \(\displaystyle x=2{\small ,}\)\(\displaystyle y=1{\small . }\)