Дана система линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Умножьте первое уравнение на \(\displaystyle 5\) и вычтите его из второго уравнения. Запишите результат после приведения подобных вместо второго уравнения системы:
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle 2x-3y=1{\small ,}\) |
Решите полученную систему уравнений:
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Нам нужно умножить первое уравнение на \(\displaystyle 5\) и вычесть его из второго уравнения.
Сначала умножим в данной системе обе части первого уравнения \(\displaystyle 2x-3y=1\) на \(\displaystyle 5{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 5}\cdot (2x-3y\,)=&\color{blue}{ 5}\cdot 1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Раскроем скобки в первом уравнении:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 5}\cdot 2x-\color{blue}{ 5}\cdot 3y=&\color{blue}{ 5}\cdot 1{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Перемножая, получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}10x-15y=&5{\small , }\\7x-15y=&-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Теперь вычтем в данной системе из второго уравнения первое (которое мы умножили на \(\displaystyle 5\)). Для этого из каждой части второго уравнения вычтем соответствующую часть получившегося первого уравнения:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 10x-15y}=&\color{blue}{ 5}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-15y}=&\color{green}{ -1}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 10x-15y}=&\color{blue}{ 5}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-15y}-(\color{blue}{ 10x-15y}\,)=&\color{green}{ -1}-\color{blue}{ 5}{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Мы вычли из второго уравнения первое, умноженное на \(\displaystyle 5{\small . } \) Теперь заменим первое уравнение обратно на исходное:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\\color{green}{ 7x-15y}-(\color{blue}{ 10x-15y}\,)=&\color{green}{ -1}-\color{blue}{ 5}{\small . }\end{aligned}\right.\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\7x-15y-10x+15y=&-1-5{\small . }\end{aligned}\right.\)
Приведем во втором уравнении подобные:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ 7x}-\color{green}{ 15y}-\color{blue}{ 10x}+\color{green}{ 15y}=&-1-5{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ -3x}=&-6{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Таким образом, после вычитания из второго уравнения первого, умноженного на \(\displaystyle 5{\small , } \) данная в условии система примет вид:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&1{\small , }\\\bf -3x=&\bf -6{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим полученную систему уравнений. Для этого сначала найдем значение \(\displaystyle x \) из второго уравнения:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ -3x}=&-6{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&1{\small , }\\ \color{blue}{ x}=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Подставим теперь найденное значение \(\displaystyle x \) в первое уравнение:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2\cdot 2-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 4-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Найдем из первого уравнения значение \(\displaystyle y\,{\small : } \)
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 4-3y=&1{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3y=&-3{\small , }\\ x=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} y=&1{\small , }\\ x=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Таким образом, система уравнений имеет решение:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=&\bf 2{\small , }\\y=&\bf 1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Ответ: \(\displaystyle x=2{\small ,}\)\(\displaystyle y=1{\small . }\)