Алдымен \(\displaystyle 2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}\) көпмүшесінің дәрежесін көбейтінді түрінде қайта жазайық:

\(\displaystyle (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})^2=(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}){\small .}\)

Енді бізге жақшаларды көбейту керек. Бұл үшін алдымен бірінші жақшаның әрбір мүшесін екінші жақшаға көбейтеміз:

\(\displaystyle \begin{array}{l}(\color{blue}{2x^{\,3}y}-\color{green}{3yz^{\,2}}+\color{red}{2xz^{\,3}})\cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})=\\\kern{9em} =\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})-\color{green}{3yz^{\,2}} \cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})+\\\kern{25em} +\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3}){\small .}\end{array}\)

Әрі қарай әр жақшаны олардың алдындағы көбейткішке көбейтіп, алынған бірмүшелерді стандарт түрге келтіреміз:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})-\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})+\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot (2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})=\\\kern{1.5em} =\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot 2x^{\,3}y-\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot 3yz^{\,2}+\color{blue}{2x^{\,3}y}\cdot 2xz^{\,3}-(\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 2x^{\,3}y-\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 3yz^{\,2}+\color{green}{3yz^{\,2}}\cdot 2xz^{\,3})+\\\kern{19em} +(\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot 2x^{\,3}y-\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot 3yz^{\,2}+\color{red}{2xz^{\,3}}\cdot 2xz^{\,3})=\\\kern{1.5em} =(2\cdot 2)\cdot (x^{\,3}\cdot x^{\,3})\cdot (\,y\cdot y\,)-(2\cdot 3)\cdot x^{\,3}\cdot (\,y\cdot y\,)\cdot z^{\,2}+(2\cdot 2)\cdot (x^{\,3}\cdot x\,)\cdot y\cdot z^{\,3}-\\\kern{6em} -\big((3\cdot 2)\cdot x^{\,3}\cdot (\,y\cdot y\,)\cdot z^{\,2}-(3\cdot 3)\cdot (\,y\cdot y\,)\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,2})+(3\cdot 2)\cdot x\cdot y\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,3})\big)+\\\kern{6em} +\big((2\cdot 2)\cdot (x\cdot x^{\,3})\cdot y\cdot z^{\,3}-(2\cdot 3)\cdot x\cdot y\cdot (z^{\,3}\cdot z^{\,2})+(2\cdot 2)\cdot (x\cdot x\,)\cdot (z^{\,3}\cdot z^{\,3})\big)=\\\kern{1.5em} =4\cdot x^{\,3+3}\cdot y^{\,1+1}-6\cdot x^{\,3}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2}+4\cdot x^{\,3+1}\cdot y\cdot z^{\,3}-\\\kern{15em} -(6\cdot x^{\,3}\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2}-9\cdot y^{\,1+1}\cdot z^{\,2+2}+6\cdot x\cdot y\cdot z^{\,2+3})+\\\kern{15em} +(4\cdot x^{\,1+3}\cdot y\cdot z^{\,3}-6\cdot x\cdot y\cdot z^{\,3+2}+4\cdot x^{\,1+1}\cdot z^{\,3+3})=\\\kern{10em} =4x^{\,6}y^{\,2}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+4x^{\,4}yz^{\,3}-(6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-9y^{\,2}z^{\,4}+6xyz^{\,5})+\\\kern{26em} +(4x^{\,4}yz^{\,3}-6xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}){\small .}\end{array}\)

Жақшаларды ашайық. Жақшалардың алдында минус таңбасы тұрғандықтан, осы жақшалардың ішіндегі барлық таңбалар қарама-қарсы таңбаға өзгереді:

\(\displaystyle \begin{array}{l}4x^{\,6}y^{\,2}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+4x^{\,4}yz^{\,3}-(6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}-9y^{\,2}z^{\,4}+6xyz^{\,5})+(4x^{\,4}yz^{\,3}-6xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6})=\\\kern{5em} =4x^{\,6}y^{\,2}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+4x^{\,4}yz^{\,3}-6x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+9y^{\,2}z^{\,4}-6xyz^{\,5}+4x^{\,4}yz^{\,3}\,-\\\kern{30em} -6xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)

Алынған көпмүшені ұқсас бірмүшелерді келтіре отырып, стандарт түрге келтірейік:

\(\displaystyle \begin{array}{l}4x^{\,6}y^{\,2}-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+9y^{\,2}z^{\,4}-6\color{red}{xyz^{\,5}}+4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}-6\color{red}{xyz^{\,5}}+4x^{\,2}z^{\,6}=\\\kern{2em} =4x^{\,6}y^{\,2}+(-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}-6\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}})+(4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}+4\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}})+9y^{\,2}z^{\,4}+(-6\color{red}{xyz^{\,5}}-6\color{red}{xyz^{\,5}})+\\\kern{34em} +4x^{\,2}z^{\,6}=\\\kern{2em} =4x^{\,6}y^{\,2}+(-6-6)\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+(4+4)\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}+9y^{\,2}z^{\,4}+(-6-6)\color{red}{xyz^{\,5}}+4x^{\,2}z^{\,6}=\\\kern{12em} =4x^{\,6}y^{\,2}-12\color{blue}{x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}}+8\color{green}{x^{\,4}yz^{\,3}}+9y^{\,2}z^{\,4}-12\color{red}{xyz^{\,5}}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)

Осылайша,

\(\displaystyle \begin{array}{l}(2x^{\,3}y-3yz^{\,2}+2xz^{\,3})^2=4x^{\,6}y^{\,2}-12x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+8x^{\,4}yz^{\,3}+9y^{\,2}z^{\,4}-12xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\end{array}\)

Жауабы: \(\displaystyle 4x^{\,6}y^{\,2}-12x^{\,3}y^{\,2}z^{\,2}+8x^{\,4}yz^{\,3}+9y^{\,2}z^{\,4}-12xyz^{\,5}+4x^{\,2}z^{\,6}{\small .}\)