Сонда
\(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle =0\)
егер \(\displaystyle 1-\sqrt{3}\) және \(\displaystyle 1+\sqrt{3}\) сандары оның түбірлері екені белгілі болса.
Квадрат теңдеуді ортақ түрде жазайық:
\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .} \)
Шартта берілген теңдеу келесідей болады
\(\displaystyle x^2+...=0{\small .}\)
Бұл теңдеуді оның ең үлкен коэффициенті анық жазылатындай етіп қайта жазамыз:
\(\displaystyle \color{red}{ 1}\cdot x^2+...=0{\small .}\)
Демек, \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{\small .} \)
Виета теоремасын қолданамыз.
Егер \(\displaystyle x_1\) және \(\displaystyle x_2\) – \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері болса. Онда олар үшін келесі қатынастар орындалады: \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[5px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}}\end{aligned}\right. \)Виет теоремасы
Сонда, теңдеудің түбірлері \(\displaystyle 1-\sqrt{3}\) және \(\displaystyle 1+\sqrt{3}{\small ,} \) тең болғандықтан, онда \(\displaystyle x_1=1-\sqrt{3}\) және \(\displaystyle x_2=1+\sqrt{3} {\small .}\)
Демек,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} (1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ 1}}{ \small ,}\\(1-\sqrt{3})\cdot (1+\sqrt{3})&=\frac{ \color{blue}{ c}}{\color{red}{ 1}}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} 2&=-\color{green}{ b}{ \small ,}\\1^2-(\sqrt{3})^2 &=\color{blue}{ c}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{green}{ b}&=\color{green}{ -2}{ \small ,}\\\color{blue}{ c}&=\color{blue}{ -2}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
Осылайша, бастапқы теңдеу келесідей болады
\(\displaystyle x^2\color{green}{ -2}x\color{blue}{ -2}=0 {\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle x^2\color{green}{ -2}x\color{blue}{ -2}=0 {\small .}\)