Найдите коэффициенты квадратного уравнения
\(\displaystyle 49x^2\)\(\displaystyle x\)\(\displaystyle =0\)
если известно, что числа \(\displaystyle \frac{3}{7}\) и \(\displaystyle -\frac{1}{7}\) – его корни.
Запишем квадратное уравнение в общем виде:
\(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .} \)
Заданное в условии уравнение имеет вид
\(\displaystyle \color{red}{ 49}x^2+...=0{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 49}{\small .} \)
Используем теорему Виета.
Теорема Виета
Если \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{blue}{ c}=0{\small .}\)
То для них выполняются следующие соотношения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ a}}{ \small ,}\\[5px]x_1\cdot x_2&=\frac{\color{blue}{ c}}{\color{red}{ a}}\end{aligned}\right. \)
Тогда, поскольку корни уравнения равны \(\displaystyle \frac{3}{7}\) и \(\displaystyle -\frac{1}{7}{\small ,} \) то \(\displaystyle x_1=\frac{3}{7}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{1}{7} {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ 49}}{ \small ,}\\\frac{3}{7}\cdot \left(-\frac{1}{7}\right)&=\frac{ \color{blue}{ c}}{\color{red}{ 49}}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \frac{2}{7}&=-\frac{\color{green}{ b}}{\color{red}{ 49}}{ \small ,}\\-\frac{3}{49}&=\frac{ \color{blue}{ c}}{\color{red}{ 49}}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{green}{ b}&=\color{green}{ -14}{ \small ,}\\\color{blue}{ c}&=\color{blue}{ -3}{\small ;} \end{aligned}\right. \)
Таким образом, исходное уравнение имеет вид
\(\displaystyle \color{red}{ 49}x^2\color{green}{ -14}x\color{blue}{ -3}=0 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \color{red}{ 49}x^2\color{green}{ -14}x\color{blue}{ -3}=0 {\small .}\)