Кері Виет теоремасын қолдана отырып, квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз:
\(\displaystyle -25x^2-20x+4\cdot 8=0{\small .}\)
Кері Виет теоремасын еске түсірейік.
Кері Виет теоремасы
Егер \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) және \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) сандары келесідей болса
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
онда \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) және \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Бұл теорема бірге тең үлкен коэффициенті бар квадрат теңдеу үшін ғана қолданылады.
Теңдеудің екі бөлігін де оның жоғары коэффициентіне бөлу арқылы аталған теңдеуді осы түрге түрлендіреміз:
\(\displaystyle \color{red}{ -25}x^2-20x+4\cdot 8=0 \,| : \color{red}{ (-25)}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{\color{red}{ -25}}{ \color{red}{ -25 }}x^2-\frac{ 20}{ \color{red}{ -25 }}x+\frac{ 4\cdot 8}{ \color{red}{ -25}}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2+\frac{ 4}{5}x+\frac{ 4\cdot 8}{ -25}=0{ \small ,}\)
Алынған теңдеудегі коэффициенттерді қарастырайық :
\(\displaystyle x^2+\color{green}{ \frac{ 4}{5}}x+\color{blue}{ \frac{ 4\cdot 8}{ -25 }}=0{ \small .}\)
\(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{ 4}{5}}{ \small ,}\) ал \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4\cdot 8}{ -25 }}{\small }\) екенін көреміз
Кері Виет теоремасында бірдей сандар қосылып, көбейтіледі.
\(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{ 4}{5}}{ \small ,}\) болғандықтан, бөлімі \(\displaystyle 5{\small }\) болатын бөлшектер қосылып, көбейтіледі деп болжауға болады
\(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4\cdot 8}{ -25 }}\) коэффициентін бөлімі \(\displaystyle 5{\small } \) болатын бөлшектердің көбейтіндісі түрінде қайта жазайық
\(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4}{5}}\cdot \left(\color{blue}{ -\frac{8}{ 5}}\right)\) немесе \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\left(\color{blue}{ -\frac{ 4}{ 5}}\right)\cdot \color{blue}{ \frac{8}{ 5}}{\small .}\)
Екі нұсқаны да тексерейік.
\(\displaystyle x_1=\frac{4}{ 5}\) және \(\displaystyle x_2=-\frac{ 8}{ 5}{\small }\) деп болжайық
Берілген сандар кері Виет теоремасын қанағаттандыратынына көз жеткізейік.
Шындығында \(\displaystyle \color{red}{ \frac{4}{ 5}}\) және \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\) сандары келесідей
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ \frac{4}{ 5}}+\left(\color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\right)&=-\color{green}{ \frac{4}{ 5}}{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ \frac{4}{ 5}}\cdot \left(\color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\right)&=\color{blue}{ \frac{4}{ 5}}\cdot \left(-\color{blue}{ \frac{8}{ 5}}\right) {\small .}\end{aligned}\right. \)
Демек, кері Виет теоремасы бойынша \(\displaystyle \color{red}{ \frac{4}{ 5}}\) және \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\)
\(\displaystyle -25x^2-20x+4\cdot 8=0{\small } \) квадрат теңдеуінің түбірлері
Жауабы: \(\displaystyle \frac{4}{ 5}\) және \(\displaystyle -\frac{ 8}{ 5}{\small .} \)