Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle 9x^2+12x-5=0{\small .}\)
Применим обратную теорему Виета.
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[14px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Выделим в данном уравнении коэффициенты:
\(\displaystyle 9x^2+12x-5= \color{magenta}{ 9}x^2 +\color{green}{ 12}x\color{blue}{ -5} {\small .}\)
Тогда \(\displaystyle a=\color{magenta}{ 9},\, \color{green}{ b}= \color{green}{ 12}\) и \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -5}{\small .}\)
Для применения обратной теоремы Виета нужно, чтобы старший коэффициент был равен единице.
Разделим поэтому обе части уравнения на \(\displaystyle 9{\small : } \)
\(\displaystyle 9x^2+12x-5=0 \,\,| :9{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{9}{9}x^2+\frac{12}{9}x-\frac{5}{9}= \frac{0}{9}{\small , } \)
\(\displaystyle x^2+\frac{4}{3}x-\frac{5}{9}=0{\small .} \)
Снова выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2+\frac{4}{3}x-\frac{5}{9}=x^2+\color{green}{ \frac{4}{3}}x\color{blue}{ -\frac{5}{9}}{\small .} \)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{4}{3}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -\frac{5}{9}}{\small .}\)
Представим дробь \(\displaystyle \color{blue}{ -\frac{5}{9}} \) как произведение либо целого числа и дроби, либо двух несократимых дробей.
Для этого найдем все целые делители старшего коэффиента \(\displaystyle \color{magenta}{ 9}\) и свободного члена \(\displaystyle \color{blue}{ -5}{\small : }\)
число \(\displaystyle 9\) делится на \(\displaystyle \pm 1, \,\pm 3\) и \(\displaystyle \pm 9{\small ; }\)
число \(\displaystyle -5\) делится на \(\displaystyle \pm 1\) и \(\displaystyle \pm 5{\small .}\)
Тогда дробь \(\displaystyle -\frac{5}{9}\) можно представить в виде произведения \(\displaystyle \frac{n}{m} \cdot \left(-\frac{5:n}{9:m}\right){ \small ,}\) где \(\displaystyle n\) – делитель \(\displaystyle -5{ \small ,}\) а \(\displaystyle m\) – делитель \(\displaystyle 9{\small .}\)
Таким образом, получаем следующие ВСЕ возможные разложения:
| \(\displaystyle n=1{ \small ,}\, m=1\) или \(\displaystyle n=-1{ \small ,}\, m=1\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{1} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{5}{9}}\right)=\color{red}{(-1)} \cdot \color{orange}{\frac{5}{9}}{ \small ,} \) |
| \(\displaystyle n=5{ \small ,}\, m=1\) или \(\displaystyle n=-5{ \small ,}\, m=1\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{5} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{1}{9}}\right)=\color{red}{(-5)} \cdot \color{orange}{\frac{1}{9}}{ \small ,} \) |
| \(\displaystyle n=1{ \small ,}\, m=3\) или \(\displaystyle n=-1{ \small ,}\, m=3\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{\frac{ 1}{ 3 }} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{5}{3}}\right)=\left(\color{red}{-\frac{ 1}{ 3 }}\right) \cdot \color{orange}{\frac{5}{3}}{ \small ,} \) |
| \(\displaystyle n=5{ \small ,}\, m=3\) или \(\displaystyle n=-5{ \small ,}\, m=3\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{\frac{ 5}{ 3 }} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{1}{3}}\right)=\left(\color{red}{-\frac{ 5}{ 3 }}\right) \cdot \color{orange}{\frac{1}{3}}{ \small .} \) |
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{5}{9}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{-1}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{9}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=-1+\frac{5}{9}=-\frac{4}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{1}{9}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=5-\frac{1}{9}=\frac{44}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{-5}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{1}{9}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=-5+\frac{1}{9}=-\frac{44}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
что неверно для корней уравнения. Значит, наше предположение неверно.
Если \(\displaystyle x_1=\color{red}{\frac{ 1}{ 3 }}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{5}{3}}, \) то
\(\displaystyle x_1+x_2=\frac{ 1}{ 3 }-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}=\color{green}{ -b}{ \small .}\)
Значит, наше предположение верно, и по обратной теореме Виета \(\displaystyle x_1=\color{red}{\frac{ 1}{ 3 }}\) и \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{5}{3}} \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle 9x^2+12x-5=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 3 }\) и \(\displaystyle -\frac{5}{3}{\small .} \)