Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)-2

Задание

Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle -25x^2-20x+4\cdot 8=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{4}{5}
,
 
\(\displaystyle x_2=\)
-\frac{8}{5}
.
Решение

Напомним обратную теорему Виета.

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Эта теорема применима только для квадратного уравнения со старшим коэффициентом, равным единице.

Преобразуем данное уравнение к этому виду, разделив обе части уравнения на его старший коэффициент:

\(\displaystyle \color{red}{ -25}x^2-20x+4\cdot 8=0 \,| : \color{red}{ (-25)}{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{\color{red}{ -25}}{ \color{red}{ -25 }}x^2-\frac{ 20}{ \color{red}{ -25 }}x+\frac{ 4\cdot 8}{ \color{red}{ -25}}=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2+\frac{ 4}{5}x+\frac{ 4\cdot 8}{ -25}=0{ \small ,}\)

Посмотрим на коэффициенты в полученном уравнении :

\(\displaystyle x^2+\color{green}{ \frac{ 4}{5}}x+\color{blue}{ \frac{ 4\cdot 8}{ -25 }}=0{ \small .}\)

Видим, что \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{ 4}{5}}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4\cdot 8}{ -25 }}{\small .}\)

В обратной теореме Виета складываются и умножаются одни и те же числа.

Поскольку \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{ 4}{5}}{ \small ,}\) то можно предположить, что складываться и умножаться будут дроби со знаменателем \(\displaystyle 5{\small .}\)

Перепишем коэффициент \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4\cdot 8}{ -25 }}\) в виде произведения дробей со знаменателем \(\displaystyle 5{\small : } \)

\(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{ 4}{5}}\cdot \left(\color{blue}{ -\frac{8}{ 5}}\right)\) или \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\left(\color{blue}{ -\frac{ 4}{ 5}}\right)\cdot \color{blue}{ \frac{8}{ 5}}{\small .}\)

Проверим оба варианта.

Предположим, что \(\displaystyle x_1=\frac{4}{ 5}\) и \(\displaystyle x_2=-\frac{ 8}{ 5}{\small .}\)

Убедимся, удовлетворяют ли данные числа обратной теореме Виета.

Действительно, числа \(\displaystyle \color{red}{ \frac{4}{ 5}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\) такие, что

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ \frac{4}{ 5}}+\left(\color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\right)&=-\color{green}{ \frac{4}{ 5}}{ \small ,}\\[15px]\color{red}{ \frac{4}{ 5}}\cdot \left(\color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\right)&=\color{blue}{ \frac{4}{ 5}}\cdot \left(-\color{blue}{ \frac{8}{ 5}}\right) {\small .}\end{aligned}\right. \)

Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ \frac{4}{ 5}}\) и \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ 8}{ 5}}\) – корни квадратного уравнения

\(\displaystyle -25x^2-20x+4\cdot 8=0{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle \frac{4}{ 5}\) и \(\displaystyle -\frac{ 8}{ 5}{\small .} \)