Кері Виет теоремасын қолдана отырып, квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз:
\(\displaystyle 3x^2-26x+35=0{\small .}\)
Кері Виет теоремасын қолданайық.
Кері Виет теоремасы
Егер \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) және \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) сандары келесідей болса
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
онда \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) және \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Осы теңдеудегі коэффициенттерді бөліп көрсетейік:
\(\displaystyle 3x^2-26x+35= \color{magenta}{ 3}x^2 \color{green}{ -26}x+\color{blue}{ 35} {\small .}\)
Сонда \(\displaystyle a=\color{magenta}{ 3},\, \color{green}{ b}= \color{green}{ -26}\) және \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 35}{\small .}\)
Кері Виет теоремасын қолдану үшін ең жоғары коэффициент бірге тең болуы керек.
Сондықтан теңдеудің екі бөлігін де \(\displaystyle 3{\small } \) бөлеміз
\(\displaystyle 3x^2-26x+35=0 \,\,| :3{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{3}{3}x^2- \frac{26}{3}x+ \frac{26}{3}= \frac{0}{3}{\small , } \)
\(\displaystyle x^2-\frac{26}{3}x+ \frac{35}{3}=0{\small .} \)
Коэффициенттерді қайтадан бөліп көрсетейік:
\(\displaystyle x^2-\frac{26}{3}x+ \frac{35}{3}=x^2\color{green}{ -\frac{26}{3}}x+ \color{blue}{ \frac{35}{3}}{\small .} \)
Сонда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -\frac{26}{3}}{ \small ,}\) ал \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ \frac{35}{3}}{\small .}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ \frac{35}{3}} \) бөлшегін бүтін сан мен бөлшектің немесе екі қысқартылмайтын бөлшектің көбейтіндісі түрінде көрсетейік:
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{1} \cdot \color{orange}{\frac{35}{3}}=\color{red}{(-1)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{35}{3}\right)}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{5} \cdot \color{orange}{\frac{7}{3}}=\color{red}{(-5)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{7}{3}\right)}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{7} \cdot \color{orange}{\frac{5}{3}}=\color{red}{(-7)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{5}{3}\right)}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{35}{3}=\color{red}{35} \cdot \color{orange}{\frac{1}{3}}=\color{red}{(-35)} \cdot \color{orange}{\left(-\frac{1}{3}\right)}{\small .} \)
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{1}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{35}{3}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=1+\frac{35}{3}=\frac{38}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{-1}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{35}{3}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=-1-\frac{35}{3}=-\frac{38}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{2}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{7}{3}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=2+\frac{7}{3}=\frac{17}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{-5}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{7}{3}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=-5-\frac{7}{3}=-\frac{22}{3}\, \cancel{=}\, \frac{26}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=7+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}=\color{green}{ -b}{ \small .}\)
Демек, біздің болжамымыз дұрыс, және кері Виет теоремасы бойынша \(\displaystyle x_1=\color{red}{7}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{3}} \) – \(\displaystyle 3x^2-26x+35=0{\small } \) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Жауабы: \(\displaystyle 7 \) және \(\displaystyle \frac{ 5}{ 3 }{\small .} \)