Кері Виета теоремасын қолдана отырып, квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз:
\(\displaystyle 9x^2+12x-5=0{\small .}\)
Кері Виета теоремасын қолданайық.
Кері Виет теоремасы
Егер \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) және \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) сандары келесідей болса
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
онда \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) және \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small }\) квадрат теңдеуінің түбірлері.
Осы теңдеудегі коэффициенттерді бөліп көрсетейік:
\(\displaystyle 9x^2+12x-5= \color{magenta}{ 9}x^2 +\color{green}{ 12}x\color{blue}{ -5} {\small .}\)
Сонда \(\displaystyle a=\color{magenta}{ 9},\, \color{green}{ b}= \color{green}{ 12}\) және \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -5}{\small .}\)
Кері Виет теоремасын қолдану үшін ең жоғары коэффициент бірге тең болуы керек.
Сондықтан теңдеудің екі бөлігін де \(\displaystyle 9{\small } \) бөлеміз
\(\displaystyle 9x^2+12x-5=0 \,\,| :9{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{9}{9}x^2+\frac{12}{9}x-\frac{5}{9}= \frac{0}{9}{\small , } \)
\(\displaystyle x^2+\frac{4}{3}x-\frac{5}{9}=0{\small .} \)
Коэффициенттерді қайтадан бөліп көрсетейік:
\(\displaystyle x^2+\frac{4}{3}x-\frac{5}{9}=x^2+\color{green}{ \frac{4}{3}}x\color{blue}{ -\frac{5}{9}}{\small .} \)
Сонда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ \frac{4}{3}}{ \small ,}\) ал \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -\frac{5}{9}}{\small .}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ -\frac{5}{9}} \) бөлшегін бүтін санның және бөлшектің немесе екі қысқартылмайтын бөлшектің көбейтіндісі түрінде көрсетейік.
Ол үшін \(\displaystyle \color{magenta}{ 9}\) жоғары коэффициентінің және \(\displaystyle \color{blue}{ -5}{\small }\) бос мүшесінің барлық бүтін бөлгіштерін табамыз
\(\displaystyle 9\) саны \(\displaystyle \pm 1, \,\pm 3\) және \(\displaystyle \pm 9{\small }\) бөлінеді;
\(\displaystyle -5\) саны \(\displaystyle \pm 1\) және \(\displaystyle \pm 5{\small }\) бөлінеді.
Сонда \(\displaystyle -\frac{5}{9}\) бөлшегін\(\displaystyle \frac{n}{m} \cdot \left(-\frac{5:n}{9:m}\right){ \small }\) көбейтіндісі түрінде көрсетуге болады, мұндағы (n ) – \(\displaystyle -5{ \small ,}\) бөлгіші, ал (m ) – \(\displaystyle 9{\small }\) бөлгіші
Осылайша, біз келесі барлық мүмкін жіктеулерді аламыз:
| \(\displaystyle n=1{ \small ,}\, m=1\) немесе \(\displaystyle n=-1{ \small ,}\, m=1\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{1} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{5}{9}}\right)=\color{red}{(-1)} \cdot \color{orange}{\frac{5}{9}}{ \small ,} \) |
| \(\displaystyle n=5{ \small ,}\, m=1\) немесе \(\displaystyle n=-5{ \small ,}\, m=1\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{5} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{1}{9}}\right)=\color{red}{(-5)} \cdot \color{orange}{\frac{1}{9}}{ \small ,} \) |
| \(\displaystyle n=1{ \small ,}\, m=3\) немесе \(\displaystyle n=-1{ \small ,}\, m=3\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{\frac{ 1}{ 3 }} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{5}{3}}\right)=\left(\color{red}{-\frac{ 1}{ 3 }}\right) \cdot \color{orange}{\frac{5}{3}}{ \small ,} \) |
| \(\displaystyle n=5{ \small ,}\, m=3\) немесе \(\displaystyle n=-5{ \small ,}\, m=3\) | \(\displaystyle -\frac{5}{9}=\color{red}{\frac{ 5}{ 3 }} \cdot \left(\color{orange}{-\frac{1}{3}}\right)=\left(\color{red}{-\frac{ 5}{ 3 }}\right) \cdot \color{orange}{\frac{1}{3}}{ \small .} \) |
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{1}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{5}{9}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{-1}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{5}{9}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=-1+\frac{5}{9}=-\frac{4}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{5}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{1}{9}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=5-\frac{1}{9}=\frac{44}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{-5}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{\frac{1}{9}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=-5+\frac{1}{9}=-\frac{44}{9}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}= \color{green}{ -b}{ \small ,}\)
бұл теңдеудің түбірлері үшін бұрыс. Демек, біздің болжамымыз дұрыс емес.
Егер \(\displaystyle x_1=\color{red}{\frac{ 1}{ 3 }}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{5}{3}}, \) болса, онда
\(\displaystyle x_1+x_2=\frac{ 1}{ 3 }-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}=\color{green}{ -b}{ \small .}\)
Демек, біздің болжамымыз дұрыс, және кері Виета теоремасы бойынша \(\displaystyle x_1=\color{red}{\frac{ 1}{ 3 }}\) және \(\displaystyle x_2=\color{orange}{-\frac{5}{3}} \) \(\displaystyle 9x^2+12x-5=0{\small } \) квадрат теңдеуінің түбірлері
Жауабы: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 3 }\) және \(\displaystyle -\frac{5}{3}{\small .} \)