Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теориясы: Ауданы.

Тапсырма

\(\displaystyle ABC \) үшбұрышында \(\displaystyle BE \) биссектрисасы мен \(\displaystyle AD \) медианасы перпендикуляр және \(\displaystyle K \) нүктесінде қиылысады. \(\displaystyle AK \) кесіндісінің ұзындығын табыңыз,  егер \(\displaystyle AD=12 \) болса

Шешім

Есептің шарты бойынша сызбаны орындаймыз.

  • \(\displaystyle ABC\) – үшбұрыш.
  • \(\displaystyle BE\) – үшбұрыштың медианасы. Демек,

\(\displaystyle AE=EC {\small.}\)

  • \(\displaystyle AD\) –  \(\displaystyle A{\small}\) бұрышының биссектрисасы Демек,

\(\displaystyle \angle BAD=\angle CAD {\small.}\)

  • \(\displaystyle K\) –  \(\displaystyle BE\) және \(\displaystyle AD{\small}\) қиылысу нүктесі
  • \(\displaystyle AD \perp BE\) және \(\displaystyle AD=12 {\small.}\)

 \(\displaystyle AK{\small}\) кесіндінің ұзындығын табу қажет

 

\(\displaystyle AK=x {\small}\) болсын, сонда  \(\displaystyle KD=12-x {\small.}\)

Қосымша сызбаны орындайық..

  \(\displaystyle BE{\small}\) медианасына параллель \(\displaystyle DL\) кесіндісін салайық

Жалпыланған Фалес теоремасы бойынша

төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{AK}{KD}= \frac{AE}{EL} {\small;}\\ \)

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{AE}{EL} {\small.}\)

\(\displaystyle AE=EC=a {\small}\) болсын. Сонда

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{a}{EL} {\small.}\)

 \(\displaystyle a {\small}\) арқылы \(\displaystyle EL\) өрнектейік

 \(\displaystyle BCE{\small}\) үшбұрышын қарастырайық 

Құрылымы бойынша   \(\displaystyle DL \parallel BE {\small.}\)

Жалпыланған Фалес теоремасы бойынша төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{BD}{DC}{\small.}\)

 

 

Есептің шарты бойынша   \(\displaystyle AD\) –  \(\displaystyle ABC{\small}\) үшбұрышының биссектрисасы

Үшбұрыш биссектрисасының қасиеті бойынша

төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}{\small.} \)

Демек,

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{AB}{AC}{\small.}\)

 

 \(\displaystyle ABE {\small}\) үшбұрышын қарастырайық 

 \(\displaystyle AK\) биссектрисасы \(\displaystyle ABE {\small}\) үшбұрышының биіктігі болғандықтан, онда \(\displaystyle \triangle ABE \) – теңбүйірлі болады.

Демек ,

\(\displaystyle AB=AE=a {\small.}\)

Себебі  \(\displaystyle AC=AE+EC \) және \(\displaystyle AE=EC=a {\small,}\) болғандықтан, онда

\(\displaystyle AC=2 \cdot a{\small.}\)

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{EL}{LC}=\frac{AB}{AC}= \frac{a}{2 \cdot a}=\frac{1}{2}{\small.}\\ \)

Яғни

\(\displaystyle LC=2 \cdot EL {\small.}\)

Сурет бойынша   \(\displaystyle EC=EL+LC {\small}\) Сонда

\(\displaystyle a=EL+ 2 \cdot EL=3 \cdot EL{\small.}\)

Демек,

\(\displaystyle EL= \frac{1}{3} \cdot a {\small.}\) 

 

Себебі

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= \frac{a}{EL} \)         және           \(\displaystyle \frac{a}{EL}=\frac{\cancel{a}}{\frac{1}{3} \cdot \cancel{a}}=3 {\small}\) болғандықтан,

онда

\(\displaystyle \frac{x}{12-x}= 3 {\small.}\)

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle x=3 \cdot (12-x) {\small;}\)

\(\displaystyle x=36-3x {\small;}\)

\(\displaystyle 4 \cdot x=36 {\small;}\)

\(\displaystyle x=9 {\small.}\)

Демек, \(\displaystyle AK=9 {\small.}\) 

 

Жауабы: \(\displaystyle 9 {\small.}\)