Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Средняя линия

Задание

Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на отрезки, равные \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 4\small.\) Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle BC\) – меньшее, а \(\displaystyle AD\) – большее основания трапеции, \(\displaystyle BH_1\) и \(\displaystyle CH_2\) – высоты трапеции. 

Пусть высота \(\displaystyle BH_1\) делит основание \(\displaystyle AD\) на отрезки \(\displaystyle AH_1=4\) и \(\displaystyle H_1D=10\small.\)

Получаем:

\(\displaystyle AD=AH_1+H_1D=\)

\(\displaystyle =4+10=14\small.\)

 

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH_1\) и \(\displaystyle DCH_2\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH_1=CH_2\small.\) 

Тогда

\(\displaystyle DH_2=AH_1=4\)
и
\(\displaystyle H_1H_2=DH_1-DH_2\small,\)

\(\displaystyle H_1H_2=10-4=6\small.\)


В четырехугольнике \(\displaystyle H_1BCH_2\) все углы прямые. Значит, он является прямоугольником. Следовательно,   

\(\displaystyle BC=H_1H_2=6\small.\)

По свойству средней линии трапеции,  

\(\displaystyle m=\frac{BC+AD}{2}\small,\)

где \(\displaystyle m\) – средняя линия трапеции. Тогда 

\(\displaystyle m=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=\frac{20}{2}=10\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 10{\small .}\)