Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанная прямоугольная трапеция с периметром  \(\displaystyle 22\) и боковыми сторонами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD=7\small,\) \(\displaystyle CD>AB\small.\)

Поскольку перпендикуляр меньше наклонной, то \(\displaystyle AB\) перпендикулярна основаниям.

По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны,

\(\displaystyle AB+CD=AD+BC \small.\)

Тогда получаем:

\(\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(BC+AD)=2 \cdot (AB+CD) \small.\)

Так как \(\displaystyle P_{ABCD}=22\) и \(\displaystyle CD=7 \small,\) то

\(\displaystyle 22=2 \cdot (AB+7) \small,\) 

\(\displaystyle 11=AB+7 \small,\)

\(\displaystyle AB=4 \small.\)

Пусть окружность касается оснований \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) в точках \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\) соответственно.

Тогда радиус \(\displaystyle OK \small,\) проведенный в точку касания, перпендикулярен прямой \(\displaystyle AD \small.\) 

Так как основания трапеции параллельны, то \(\displaystyle OK\) перпендикулярен и прямой \(\displaystyle BC \small.\)

Но радиус \(\displaystyle OL\) также перпендикулярен прямой \(\displaystyle BC \small.\)

Поскольку через точку \(\displaystyle O\) можно провести только один перпендикуляр к прямой \(\displaystyle BC \small,\) то прямые \(\displaystyle OK\) и \(\displaystyle OL\) совпадают.

Прямая \(\displaystyle KL\) параллельна прямой \(\displaystyle AB \small,\) так как они обе перпендикулярны основаниям трапеции.

Тогда \(\displaystyle ABLK \) – параллелограмм, 

\(\displaystyle KL=AB=4 \small.\)

Отрезок \(\displaystyle KL\) является диаметром окружности, значит радиус окружности равен \(\displaystyle 2 \small.\)

Ответ: \(\displaystyle 2 {\small .}\)