Найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle 4,5^{12}\cdot 9,1^{18}\cdot 4,5^6\cdot 9,1^7=4,5\) | \(\displaystyle \cdot \,\, 9,1\) |
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:
\(\displaystyle 4,5^{12}\cdot 9,1^{18}\cdot 4,5^{6}\cdot 9,1^{7}={\color{blue}{4,5}}^{12}\cdot {\color{red}{9,1}}^{18}\cdot {\color{blue}{4,5}}^{6}\cdot {\color{red}{9,1}}^{7}=({\color{blue}{4,5}}^{12}\cdot {\color{blue}{4,5}}^{6})\cdot ({\color{red}{9,1}}^{18}\cdot {\color{red}{9,1}}^{7}).\)
Затем воспользуемся правилом произведения степеней:
\(\displaystyle ({\color{blue}{4,5}}^{12}\cdot {\color{blue}{4,5}}^{6})\cdot ({\color{red}{9,1}}^{18}\cdot {\color{red}{9,1}}^{7})={\color{blue}{4,5}}^{12+6}\cdot {\color{red}{9,1}}^{18+7}={\color{blue}{4,5}}^{\bf 18}\cdot {\color{red}{9,1}}^{\bf 25}.\)
Ответ: \(\displaystyle 4,5^{18} \cdot 9,1^{25}.\)
\(\displaystyle 4,5^{12}\cdot 9,1^{18}\cdot 4,5^6\cdot 9,1^7=\underbrace{4,5\cdot \ldots \cdot 4,5}_{\color{blue}{12}\, раз} \cdot \underbrace{9,1\cdot \ldots \cdot 9,1}_{\color{red}{18}\, раз }\cdot \underbrace{4,5\cdot \ldots \cdot 4,5}_{\color{blue}{6}\, раз} \cdot \underbrace{9,1\cdot \ldots \cdot 9,1}_{\color{red}{7}\, раз}=\)
\(\displaystyle \phantom{4,5^{12}\cdot 9,1^{18}\cdot 4,5^6\cdot 9,1^7}=(\underbrace{4,5 \ldots \cdot 4,5}_{\color{blue}{12+6}\, раз}) \cdot (\underbrace{9,1 \ldots \cdot 9,1}_{\color{red}{18+7}\, раз})=4,5^{\color{blue}{18}}\cdot 9,1^{\color{red}{25}}.\)