Кез келген \(\displaystyle a,\, c\) нөлдік емес сандар мен \(\displaystyle b\) нөлдік емес сандар үшін өрнек дәрежелерінің көрсеткіштерін табыңыз:
| \(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8} = a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) | \(\displaystyle \cdot \, c\) |
Дәрежелер көбейтіндісі
\(\displaystyle a\) – сан, \(\displaystyle n,\, m\) – натурал сандар болсын, сонда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Ауызша айтқанда, негіздері бірдей дәрежелерді көбейту кезінде дәреже көрсеткіштері қосылады.
Алдымен негіздері бірдей өрнектерді топтастырамыз:
\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8}= {\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,3} \cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8}= ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16})\cdot ({\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8}).\)
Содан кейін дәрежелерді қосу ережесін қолданамыз:
\(\displaystyle ({\color{red}{a}}^{\,3}\cdot {\color{red}{a}}^{\,2}\cdot {\color{red}{a}}^{\,16})\cdot ({\color{blue}{c}}^{\,2}\cdot {\color{blue}{c}}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,8})={\color{red}{a}}^{\,3\,+\,2\,+\,16}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,2\,+\,1\,+\,8}= {\color{red}{a}}^{\,21}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,11}.\)
Алынған көбейтіндіде \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle c\) бар, бірақ \(\displaystyle b\) жоқ. Бұл \(\displaystyle b\) нөл рет кездескенін білдіреді, және, демек, көбейтіндіде ол нөлдік дәрежеде тұрады:
\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}=a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)
Осылайша,
\(\displaystyle c^{\,2}\cdot a^{\,3} \cdot a^{\,2}\cdot c\cdot a^{\,16}\cdot c^{\,8}= a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)
Жауабы: \(\displaystyle a^{\:21}\cdot b^{\: 0}\cdot c^{\: 11}.\)
Нөлдік емес \(\displaystyle b\) параметрінің нөлдік дәрежеде болуының ресми дәлелі келесідей берілген.
Төмендегі көбейтіндіде
\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}\)
\(\displaystyle a\) мен \(\displaystyle c\) бар және \(\displaystyle b\) жоқ. Нөлдік дәрежедегі кез-келген нөлдік емес сан бірге тең болғандықтан, және сондықтан \(\displaystyle b^{\: 0}=1,\) онда
\(\displaystyle a^{\,21}\cdot c^{\,11}=a^{\: 21}\cdot \color{red}{1}\cdot c^{\,11}= a^{\: 21}\cdot \color{red}{b}^{\: 0}\cdot c^{\,11}.\)