\(\displaystyle 38-10\sqrt{13} \) түбір асты өрнегін айырманың квадраты түрінде көрсетейік, яғни

\(\displaystyle 38-10\sqrt{13}=(a-b)^2,\) мұндағы \(\displaystyle a \) және \(\displaystyle b\) табу керек.

Оң жақтағы жақшаларды ашайық:

\(\displaystyle 38-10\sqrt{13}=a^2-2ab+b^2.\)

Квадраттау кезінде квадрат түбір кететіндіктен, онда әрине \(\displaystyle \color{blue}{38}-\color{green}{10\sqrt{13}}=\color{blue}{a^2}-\color{green}{2ab}+\color{blue}{b^2}\) екенін болжауға болады, яғни,       

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{a^2+b^2}&=\color{blue}{38}\\\color{green}{2ab}&=\color{green}{10\sqrt{13}}.\\\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle 2ab=10\sqrt{13}\) теңдігінің екі бөлігін де \(\displaystyle 2{ \small}\) қысқартайық.  Сонда \(\displaystyle ab= 5\sqrt{13}.\)

Егер \(\displaystyle a\) мәні белгілі болса, онда \(\displaystyle b=\frac{5\sqrt{13}}{a}.\)        

\(\displaystyle a \) және \(\displaystyle b\) мәнін іріктеу әдісімен табамыз. \(\displaystyle b=\frac{5\sqrt{13}}{a}\) болғандықтан, келесіні болжауға болады      

• \(\displaystyle a=1,\) сонда \(\displaystyle b=5\sqrt{13}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a=5,\) сонда \(\displaystyle b=\sqrt{13}{\small ; }\)
• \(\displaystyle a=\sqrt{13},\) сонда \(\displaystyle b=5{\small ; }\)
• \(\displaystyle a=5\sqrt{13},\) сонда \(\displaystyle b=1.\)

\(\displaystyle a^2+b^2=38\) болатын жұпты табайық.

Егер \(\displaystyle a=1\) және \(\displaystyle b=5\sqrt{13}\) болса, онда 

\(\displaystyle a^2+b^2=1^2+(5\sqrt{13})^2=1+25\cdot 13=1+325=326\,\cancel{=}\,38.\)

Егер \(\displaystyle a=5\) және \(\displaystyle b=\sqrt{13}\) болса, онда

\(\displaystyle a^2+b^2=5^2+(\sqrt{13})^2=25+13=38.\)

Сондықтан \(\displaystyle a=5\) және \(\displaystyle b=\sqrt{13}\) – ізделініп отырған жұп және

\(\displaystyle 38-10\sqrt{13}=(5-\sqrt{13})^2.\)

Ережені қолданайық.

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \sqrt{ 38-10\sqrt{13}}= \sqrt{\left(5-\sqrt{13}\right)^2}= \left| 5- \sqrt{ 13}\right|{\small . } \)

Алынған \(\displaystyle \left| 5- \sqrt{ 13}\right|{\small } \) өрнегі үшін модульді ашайық.             

Ол үшін \(\displaystyle 5- \sqrt{ 13}{\small} \) ішкі модуль өрнегінің таңбасын анықтаймыз.           

\(\displaystyle 5-\sqrt{ 13}>0 {\small} \) болғандықтан, модуль таңбасын алып тастауға болады:

\(\displaystyle \left| 5- \sqrt{ 13}\right|= 5- \sqrt{ 13}{\small . } \)

Осылайша,

\(\displaystyle \sqrt{38-10\sqrt{13}}=\sqrt{\left(5-\sqrt{13}\right)^2}= \left| 5- \sqrt{ 13}\right|=5- \sqrt{ 13}{\small . } \)

Жауабы: \(\displaystyle 5-\sqrt{ 13}{\small . } \)